Question

A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula: $y\:\left(t\right)=\frac{10t}{\left(t+1\right)^2},\:t\ge 0$. Assinale a alternativa correta em qual intervalo essa função é crescente. Escolha uma:

a. 1/2 < t < 10
b. t > 1
c. 0 ≤ t < 1
d. t > 0
e. 0 ≥ t

PS.: ENGRAÇADINHOS QUE PUBLICAREM RESPOSTAS MANIFESTAMENTE EQUIVOCADAS, ABSURDAS OU IMPRÓPRIAS, SERÃO DENUNCIADOS, TERÃO SUA RESPOSTA REMOVIDA, SEUS PONTOS DEVOLVIDOS E A CONTA COLOCADA EM OBSERVAÇÃO. EU JÁ FIZ ISSO EM RESPOSTAS RIDÍCULAS DE OUTRAS PERGUNTAS QUE POSTEI.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{c)~0\leq t<1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o conceito de ponto crítico.

Observe o gráfico da função: $f(t)=\dfrac{10t}{(t+1)^2}$ para $t\geq 0$.

Como podemos ver, a função cresce até certo ponto e muda seu comportamento. Para encontrarmos este ponto, chamado de máximo local, fazemos com que sua primeira derivada seja nula.

Ou seja:

$\dfrac{d}{dt}f(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{10t}{(t+1)^2}\right)=0$

Para derivarmos esta função, aplicaremos a regra do quociente.

Seja a função racional $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, sua derivada é dada por:

$f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x)}{(v(x))^2}$.

Para calcularmos a derivada das funções no numerador e denominador, lembre-se das seguintes propriedades:

• A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, ou seja: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma função composta é encontrada pela regra da cadeia: $(f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Então, podemos continuar a resolução

$f'(t)=\dfrac{(10t)'\cdot(t+1)^2-((t+1)^2)'\cdot 10t}{((t+1)^2)^2}\right)=0$

Aplique as regras discutidas acima e calcule a potência

$f'(t)=\dfrac{10\cdot(t+1)^2-2(t+1)\cdot 10t}{(t+1)^4}\right)=0$

Expanda os binômios e multiplique os termos

$f'(t)=\dfrac{10t^2+20t+10-20t^2-20t}{(t+1)^4}\right)=0$

Some os termos semelhantes

$f'(t)=\dfrac{-10t^2+10}{(t+1)^4}\right)=0$

Para que uma função racional seja igual a zero, seu numerador deve ser zero, logo:

$-10t^2+10=0$

Isolando $t$, temos

$t^2=1$

Logo, os pontos são

$t=\pm~1$

Como nos foi definido que $t\geq0$, assumimos a solução positiva.

Então, o intervalo que contém os números entre a condição dada e o ponto crítico em que a função é crescente é:

$0\leq t<1$

E é a resposta contida na letra c).

Answer 2

Resposta: c. 0 ≤ t < 1

Explicação passo-a-passo: