Question

A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial
C(t)= 0,05t²+ 2t +25. Nessa função, considera-se t 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira.
a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez?
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose?

Answer 1

Olá.

Acredito que esteja faltando um "menos (-)" antes do 0,05, mas já estou considerando-o.
Amigo, vamos primeiro manipular essa função de modo que possamos por métodos algébricos visíveis atingir os resultados requiridos em cada questionamento.
Primeiramente, vamos pensar em uma forma de eliminar o "-0,05", com esse número é quase impossível trabalhar. Você sabe que uma equação é como uma balança, a parte da esquerda está em equilíbrio com a da direita. Se eu adicionar 10 da esquerda e 10 da direita não vai alterar o equilíbrio certo? Pois é esse o pensamento que você vai precisar.

$C(t)= -0,05t^{2} + 2t +25 \\ 40= -0,05t^{2} + 2t +25 \\ 0= -0,05t^{2} + 2t -15$
Multiplicando os dois lados por (-20)
$0= -0,05t^{2} + 2t -15 \\ 0= t^{2} - 40t + 300$
Agora podemos realizar por qualquer método. Eu vou escolher um mais fácil e que de fato é muito rápido para coeficientes grandes.
Vou somar 100 dos dois lados. Por que? Porque 100 é o quadrado perfeito de 10 e eu tentando achar o quadrado da diferença dessa equação vou poder igualar a esse 100 e achar os possíveis "t" que satisfaça a equação.
 $0= t^{2} - 40t + 300 \\ 100= t^{2} - 40t + 400 \\ 100 = (t-20)^{2} \\ t' = 10 \\ t"= 30$
Perceba que se eu colocar 10 ali no lugar do t vai dar -10 e isso ao quadrado da 100. Da mesma forma se eu colocar o 30 vai dar 10 e ao quadrado vai dar 100.
admitindo t como 10 podemos saber quantas horas.

11 + 10 = 21 horas do mesmo dia.

2) Olha como essa segunda pergunta é maliciosa, ela não quer a concentração máxima. Ela quer o tempo em que a concentração é máxima.

$C(t)= -0,05t^{2} + 2t +25 \\ y= C; x =t$
Agora sabemos mais ou menos o modelo do gráfico. 
Concentração x tempo. Então como o coeficiente angular é negativo, este vai assumir valor máximo.
Como sabemos o tempo e este está no eixo x, vamos usar a fórmula de máximo no ponto x.
$x = \frac{-b}{2a} \\ x = \frac{-2}{2. (-0,05)} \\ x = \frac{-2}{-0,1} \\ x=20$
Sabemos o horário em que a concentração vai ser máxima.
Agora vem o pulo do gato, você não pode confundir com a primeira questão. Ele vai tomar a segunda dose após 20 horas da primeira. Quando foi a primeira? as 11horas da manhã. 11+20 = 30 => 30-24 = 7 horas da terça-feira.