Question

A concentração, c, de teor alcoólico é descrita por c=10e^(-1,2*t)+2,0^(0,25*t) utilizar o método de Newton-Raphson com ele precisão 0,020 e um máximo de 7 interações, para estimar o tempo t, em segundos, para que esta concentração seja reduzida para 5.

Answer 1

A estimativa do tempo t, em segundos, para que a concentração seja reduzida para 5 é de aproximadamente 0,794927 segundos.

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O método de Newton-Raphson é um método numérico iterativo para encontrar as raízes de uma função a partir de uma aproximação inicial e da derivada desta função. Em termos matemáticos, o método é dado pela seguinte sequência recursiva:

$t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}$  , n ∈ IR

Se o objetivo é que a concentração seja reduzida a 5, a tarefa é encontrar a(s) raiz(es) da função $f(t) = 10\text{e}^{-1,2t}+2^{0,25t} - 5$

Inicialmente precisamos de um chute inicial (t₀) e da derivada da função f. Suponha t₀ = 1. A derivada da função f é:

$f'(t) = -12\text{e}^{-1,2t}+0,25 \cdot \ln2 \cdot 2^{0,25t}$

Calculando com o auxílio de um computador:

$t_{1}=t_{0}-\frac{f(t_{0})}{f'(t_{0})} = 1-\frac{-0.798851}{-3.40826}=0,765613$

$t_{2}=t_{1}-\frac{f(t_{1})}{f'(t_{1})} = 0,794392$

$t_{3}=t_{2}-\frac{f(t_{2})}{f'(t_{2})} = 0.794926$

$t_{4}=t_{3}-\frac{f(t_{3})}{f'(t_{3})} = 0.794927$

$t_{5}=t_{4}-\frac{f(t_{4})}{f'(t_{4})} = 0.794927$

$t_{6}=t_{5}-\frac{f(t_{5})}{f'(t_{5})} = 0.794927$

$t_{7}=t_{6}-\frac{f(t_{6})}{f'(t_{6})} = 0.794927$

Observe que a partir da 4° iteração a mudança é muito pequena, o que garante que a precisão seja menor que 0,02.

Logo, a estimativa do tempo t, em segundos, para que a concentração seja reduzida para 5 é de aproximadamente 0,794927 segundos.

Até mais!