A combinação linear, importante procedimento em espaços e subespaços vetoriais, é capaz de criar inúmeros vetores do espaço em questão, se os vetores primordialmente escolhidos forem LI (Linearmente Independentes).
Considerando os vetores indicados por:
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O valor de a₃ é 3.
Completando a questão:
u₁ = (1,-2,-1)
u₂ = (1,1,1)
u₃ = (1,2,3)
u = a₁.u₁ + a₂.u₂ + a₃.u₃.
Sendo a₁ = 2, a₂ = -2 e u = (3,0,5), qual é o valor de a₃?
Solução
Vamos substituir os dados mostrados no enunciado na equação u = a₁.u₁ + a₂.u₂ + a₃.u₃. Assim, obtemos:
(3,0,5) = 2.(1,-2,-1) + (-2).(1,1,1) + a₃.(1,2,3)
(3,0,5) = (2,-4,-2) + (-2,-2,-2) + (a₃,2a₃,3a₃)
(3,0,5) = (2 - 2 + a₃, -4 - 2 + 2a₃, -2 - 2 + 3a₃)
(3,0,5) = (a₃,-6 + 2a₃,-4 + 3a₃).
Igualando as coordenadas, obtemos o seguinte sistema:
{a₃ = 3
{-6 + 2a₃ = 0
{-4 + 3a₃ = 5.
Da primeira equação, obtemos o valor de a₃, que é 3.
Vamos substituí-lo nas duas outras equações do sistema:
-6 + 2.3 = -6 + 6 = 0
e
-4 + 3.3 = -4 + 9 = 5.
Portanto, o valor de a₃ é 3.
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