Question

A combinação linear, importante procedimento em espaços e subespaços vetoriais, é capaz de criar inúmeros vetores do espaço em questão, se os vetores primordialmente escolhidos forem LI. Considerando os vetores indicados por: u1 = (3,2,1) u2 = (1,0,1) u3 = (4,0,0) e levando em conta a regra: u = a1.u1 + a2.u2 + a3.u3 Julgue as alternativas e assinale a correta: I) O vetor (-7,-4,1) pode ser encontrado quando a1 = -2, a2 = 3, a3 = -1 II) O vetor (25,10,3) pode ser encontrado quando a1 = 5, a2 = -2, a3 = 3 III) O vetor (8,2,2) pode ser encontrado quando a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1 IV) O vetor (13,5,6) pode ser encontrado quando a1 = 3, a2 = 2, a3 = 1 ​ ALTERNATIVAS Apenas I, II e III. Apenas II, III e IV. Apenas I, III e IV. Apenas I, II e IV. I, II, III e IV. Responder

Answer 1

Olá

Alternativa correta, Apenas I, II e III


Vetores que serão utilizados:

$\displaystyle \vec{u_1}\mathsf{=(3,2,1)}\\\\\vec{u_2}\mathsf{=(1,0,1)}\\\\\vec{u_3}\mathsf{=(4,0,0)}$


Vamos verificar cada item e ver se é verdadeiro ou falso.

A propriedade utilizada será a dada no enunciado:

$\vec{u}=a_1\vec{u_1}+a_2\vec{u_2}+a_3\vec{u_3}$


A propriedade diz o seguinte,

Um vetor qualquer pode ser escrito a partir da combinação linear de outros vetores (u1, u2, u3), sendo a1, a2, a3, constantes que serão multiplicadas pelos vetores.


i)

Quando multiplicarmos os vetores u1, u2, u3 por
 
a1 = -2
a2 = 3
a3 = -1

respectivamente, Resultará o vetor (-7,-4,1)

= -2(3, 2, 1) + 3(1, 0, 1) - 1(4, 0 ,0)

Aplica a distributiva e soma-se AS COORDENADAS, lembre-se que estamos lidando com vetores.

= (-6 + 3 - 4, -4 + 0 + 0, -2 + 3 + 0)

= (-7, -4, 1)         ✓         VERDADEIRO



ii) 

Quando multiplicarmos os vetores u1, u2, u3 por
 
a1 = 5
a2 = -2
a3 = 3

respectivamente, Resultará o vetor (25, 10, 3)


= 5(3, 2, 1) - 2(1, 0, 1) + 3(4, 0 ,0)

=(15 - 2 + 12, 10 + 0 + 0, 5 - 2 + 0)

=(25, 10, 3)        ✓    VERDADEIRO



iii)

Quando multiplicarmos os vetores u1, u2, u3 por
 
a1 = 1
a2 = 1
a3 = 1

respectivamente, Resultará o vetor (8, 2, 2)

=1(3, 2, 1) + 1(1, 0, 1) + 1(4, 0, 0)

=(3 + 1 + 4, 2 + 0 + 0, 1 + 1 + 0)

=(8, 2, 2)           ✓       VERDADEIRA




iv)


Quando multiplicarmos os vetores u1, u2, u3 por
 
a1 = 3
a2 = 2
a3 = 1

respectivamente, Resultará o vetor (13, 5, 6)

= 3(3, 2, 1) + 2(1, 0, 1) + 1(4, 0, 0)

= (9 + 2 + 4, 6 + 0 + 0, 3 + 2 + 0)

= (15, 6, 5)       ✖      FALSO



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