Question

A combinação linear é capaz de gerar infinitas possibilidades de vetores em um espaço, se os vetores primordialmente escolhidos forem LI.
Considerando os vetores indicados por:

Answer 1

Todas as afirmativas estão corretas.

Vamos analisar cada afirmativa.

I) Sendo u₁ = (1,1,1), u₂ = (2,0,2) e u₃ = (1,2,3), temos que:

u = a₁.(1,1,1) + a₂.(2,0,2) + a₃.(1,2,3).

Considerando a₁ = 1, a₂ = 1 e a₃ = 1, obtemos:

u = 1.(1,1,1) + 1.(2,0,2) + 1.(1,2,3)

u = (1,1,1) + (2,0,2) + (1,2,3)

u = (1+2+1,1+0+2,1+2+3)

u = (4,3,6).

A afirmativa está correta.

II) Sendo a₁ = a₂ = -1 e a₃ = 1, temos que:

u = -1(1,1,1) - 1(2,0,2) + 1(1,2,3)

u = (-1,-1,-1) + (-2,0,-2) + (1,2,3)

u = (-1-2+1,-1+0+2,-1-2+3)

u = (-2,1,0).

A afirmativa está correta.

III) Sendo a₁ = -2 e a₂ = a₃ = 1, temos que:

u = -2(1,1,1) + 1(2,0,2) + 1(1,2,3)

u = (-2,-2,-2) + (2,0,2) + (1,2,3)

u = (-2+2+1,-2+0+2,-2+2+3)

u = (1,0,3).

A afirmativa está correta.

IV) Com o vetor nulo, temos que:

(0,0,0) = a₁.(1,1,1) + a₂.(2,0,2) + a₃.(1,2,3)

(0,0,0) = (a₁ + 2a₂ + a₃, a₁ + 2a₃, a₁ + 2a₂ + 3a₃)

Ou seja, temos o sistema linear:

{a₁ + 2a₂ + a₃ = 0

{a₁ + 2a₃ = 0

{a₁ + 2a₂ + 3a₂ = 0

Ao resolvermos esse sistema, obtemos que a₁ = a₂ = a₃.

Logo, a afirmativa está correta.