Question

A combinação de regras de derivação possibilita o cálculo das derivadas de diversas funções que podem ser encontradas, por exemplo, por um Engenheiro de Produção ao analisar o custo marginal de uma empresa. Nesse sentido, saber derivar e conhecer as propriedades que viabilizam seu cálculo é essencial. Admitindo a função definida por f open parentheses x close parentheses equals e to the power of negative x end exponent times ln open parentheses square root of x close parentheses , assinale a alternativa que dispõe do resultado correto para sua derivada. Escolha uma:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Utilizando as regras de derivação, a derivada da função f é f'(x) = -ln(√x)/eˣ + e⁻ˣ/2x.

Derivadas

A derivada é definida como a taxa de variação de uma função e pode ser calculada através de um limite ou utilizando as regras de derivação.

A função dada é f(x) = e⁻ˣ · ln(√x), logo, devemos utilizar a regra do produto. Seja g(x) = e⁻ˣ e h(x) = ln(√x), temos que:

f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)

Calculando a derivada de g:

g'(x) = -e⁻ˣ

Seja √x = u, temos, pela regra da cadeia:

h'(x) = du/dx · d(ln(u))/dx

h'(x) = u' · 1/u

h'(x) = 1/2√x · 1/√x

h'(x) = 1/2x

Calculando a derivada de f:

f'(x) = -e⁻ˣ·ln(√x) + e⁻ˣ·(1/2x)

f'(x) = -ln(√x)/eˣ + e⁻ˣ/2x

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