Question

A cobertura de um ginásio poliesportivo terá a forma de um arco de parábola. No projeto da cobertura, foi inserido um sistema de eixos cartesianos, no qual o eixo horizontal representa o chão do ginásio e o eixo vertical contém um dos pilares mais à esquerda, conforme representado na imagem. Os pontos A e B pertencem à cobertura e estão verticalmente localizados acima dos pilares de sustentação da estrutura e a 5 metros do chão do ginásio. A continuação do arco parabólico atinge o nível do chão 8 metros à esquerda e à direita dos pilares.A altura, em metro, do ponto mais alto da cobertura em relação ao chão é, aproximadamente:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$y=ax^2+bx+c$

Temos que:

$f(-8)=0~\longrightarrow~64a-8b+c=0$

$f(24)=0~\longrightarrow~576a+24b+c=0$

$f(0)=5~\longrightarrow~c=5$

Substituindo c por 5 nas duas primeiras equações:

$64a-8b+5=0~\longrightarrow~64a-8b=-5$

$576a+24b+5=0~\longrightarrow~576a+24b=-5$

Podemos montar o sistema:

$\begin{cases} 64a-8b=-5 \\ 576a+24b=-5 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por 3:

$\begin{cases} 64a-8b=-5~~\cdot3 \\ 576a+24b=-5 \end{cases}~\longrightarrow~\begin{cases} 192a-24b=-15 \\ 576a+24b=-5 \end{cases}$

Somando as equações membro a membro:

$192a+576a-24b+24b=-15-5$

$768a=-20$

$a=\dfrac{-20}{768}$

$a=\dfrac{-5}{192}$

Substituindo na segunda equação:

$\dfrac{-5}{192}\cdot576+24b=-5$

$-15+24b=-5$

$24b=-5+15$

$24b=10$

$b=\dfrac{10}{24}$

$b=\dfrac{5}{12}$

Logo:

$f(x)=\dfrac{-5x^2}{192}+\dfrac{5x}{12}+5$

A altura do ponto mais alto é o $y_V$

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\Delta=\left(\dfrac{5}{12}\right)^2-4\cdot\left(-\dfrac{5}{192}\right)\cdot5$

$\Delta=\dfrac{25}{144}+\dfrac{100}{192}$

$\Delta=\dfrac{25}{144}+\dfrac{25}{48}$

$\Delta=\dfrac{100}{144}$

$\Delta=\dfrac{25}{36}$

$y_V=\dfrac{-\frac{25}{36}}{4\cdot\left(-\frac{5}{192}\right)}$

$y_V=\dfrac{-\frac{25}{36}}{-\frac{5}{48}}$

$y_V=\dfrac{25}{36}\cdot\dfrac{48}{5}$

$y_V=\dfrac{20}{3}$

Aproximadamente 6,67 metros