Question

A circunferência que esta centrada na origem do plano cartesiano e que tangencia a reta da equação y=2-x possui equação:

Answer 1

Temos que a equação da circunferência de centro na origem é dada por:
 
$x^2 + y^2 = r^2$

Temos a seguinte equação de uma reta que tangencia uma circunferência de centro C(0,0):

$y = 2 - x$

Sobre essa reta temos:

• Possui a raiz igual a 2.
• Possui o coeficiente linear igual a 2.
• É decrescente.

Logo temos que essa reta passa pelos pontos:

$A(2,0) \\ B(0,2)$

Como a circunferência possui o centro na origem,o ponto na qual a circunferência irá tangenciar a reta, será o ponto médio do segmento AB.

 $M( \frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2} ) \\ \\ M( \frac{2}{2} , \frac{2}{2} ) \\ \\ M(1,1)$

Logo temos que o raio da circunferência é dado pela distancia entre M(1,1) e C(0,0):

$r^2 = (1-0)^2 + (1-0)^2 \\ \\ r^2 = 1^2 + 1^2 \\ \\ r^2 = 1 + 1 \\ \\ r = \sqrt{2}$

Logo a equação da circunferência será:

$x^2 + y^2 = r^2 \\ \\ x^2 + y^2 = ( \sqrt{2} )^2 \\ \\ x^2 + y^2 = 2$