Question

a circunferência λ passa pelos pontos A(3,4) e B(2,5)e tem o centro no eixo das ordenadas . qual é a equagão geral de λ?a circunferência λ passa pelos pontos A(3,4) e B(2,5)e tem o centro no eixo das ordenadas . qual é a equagão geral de λ?

Answer 1

Veja que o centro da circunferência é do tipo (0,y), já que tal centro está no eixo das ordenadas.

Por outro lado, sabemos que a mediatriz do segmento que une dois pontos pertencentes a uma circunferência passa pelo centro. Assim vamos determinar a equação desta mediatriz.

a) primeiro vamos determinar o coeficiente angular "m" da equação da reta suporte do segmento AB:


$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-4}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1$

b) Sabemos que a a mediatriz de AB é perpendicular a reta suporte de AB, logo o coeficiente angular da mediatriz é 1  (pois quando duas retas são perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares é -1)

c) Agora vamos determinar o ponto médio de AB:

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}\\ \\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}$

d) Agora vamos determinar a equação da mediatriz, sabendo que seu coeficiente angular é 1 e passa no ponto M:

$y-y_M=m(x-x_M)\\ \\ y-\frac{9}{2}=1(x-\frac{5}{2})\\ \\ y=x-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}\\ \\ y=x+2$

e) Vamos determinar a ordenada do ponto de intersecção desta reta mediatriz com o eixo vertical, ou seja, para x = 0

y = 0 + 2
y = 2

Logo o centro da circunferência é o ponto (0,2)

f) Vamos calcular agora o raio desta circunferência, calculando a distância OA (poderia ser também OB):

$r=d_{OA}=\sqrt{(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2}\\ \\ r=d_{OA}=\sqrt{(3-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

g) Finalmente podemos escrever a equação reduzida da circunferência:
$\lambda:(x-0)^2+(y-2)^2=13$

A equaçãqo geral é:
$\lambda:(x-0)^2+(y-2)^2=13\\ \\ \lambda:x^2+y^2-4y+4=13\\ \\ \boxed{\lambda:x^2+y^2-4y-9=0}$