Question

A circunferência λ passa pelos pontos A(3,4) e B(2,5) e tem o centro no eixo das ordenadas. Qual é a equação geral de λ?

Answer 1

Oi

Como a circunferência tem centro no eixo das ordenadas (eixo y), a abscissa do ponto será 0. 

Centro (0,Y)

Note que, a distância de A até o Centro é a mesma de B até o centro, logo:

AC=BC

Igualando as distâncias, temos:

$D(AC)=D(BC) \\ (XC-XA)^{2}+(YC-YA)^{2} =(XC-XB)^{2}+(YC-YB)^{2} \\ (0-3)^{2}+(YC-4)^{2} =(0-2)^{2}+(YC-5)^{2} \\ 3^{2} +YC^{2} -8YC+16=2^{2} +YC^{2}-10YC+25\\ 9 -8YC+16=4-10YC+25\\ 10YC-8YC=29-25\\ 2YC=4\\ YC= \frac{4}{2} \\ YC=2$

Já temos o Centro que vale C(0,2), também temos as extremidades A e B, então, só nos falta encontrar o raio.

Para acharmos o raio, devemos calcular a distância do centro até um dos pontos (A ou B).

Calculando o raio:

$R ^{2}=(XC-XB)^{2}+(YC-YB)^{2}\\ R ^{2}=(0-2)^{2}+(2-5)^{2}\\ R ^{2}=2^{2}+(-3)^{2}\\ R ^{2}=4+9\\ R ^{2}=13\\ R= \sqrt{13}$

Como já temos o centro e o raio, já podemos montar a equação geral da circunferência.

Montando a equação:

$(X-Xc)^{2}+(Y-Yc)^{2}=R^{2} \\ (X-0)^{2}+(Y-2)^{2}=( \sqrt{13}) ^{2} \\ (X-0)^{2}+(Y-2)^{2}=( \sqrt{13}) ^{2} \\ X^{2} +Y^{2} -4Y+4=13\\ X^{2} +Y^{2} -4Y+4-13=0\\ X^{2} +Y^{2} -4Y-9=0 \ \textless \ \ \textless \ \ \textless \ Eq. Geral$