Question

A circunferência de raio 1 mostrada na figura toca a curva y = |2x| duas vezes. Determine a área da região que se encontra entre as duas curvas.

Com explicação. Obrigado.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\underset{ \text{Sombreada}} { \text{Area}} = 0,89u.a}$

Explicação passo-a-passo:

Dado que a equação da curva é $y = |2x|$ e a circunferência tem raio 1, considerando que a equação da circunferência tem centro $\mathsf{C(0, y_o)}$, observe que $\mathsf{x_o =0}$, portanto, sabemos que da equação da circunferência,

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

$\boxed{\mathsf{(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 = r^2}}$

Pela observação (e substituição) dos dados indicados acima, ficaremos com,

$\mathsf{\Longrightarrow x^2 + (y - y_o)^2 = 1}$

Observe a curva $y = |2x|$, ela é tangente à circunferência em dois pontos,

$y = |2x| = \begin{cases} \boxed{~~2x~} ~~,se ~x \geqslant 0 \\ \\ \boxed{-2x}~~ ,se ~ x < 0 \end{cases}$

Portanto, vamos deste modo determinar os pontos de intersecção do círculo com as rectas $y = 2x$ e $y = -2x$, observe que há simetria entre as rectas, o que significa que podemos trabalhar com apenas uma das rectas e no fim aplicar a simetria.

Pela equação da circunferência dada inicialmente, vamos encontrar a equação do semicírculo inferior, observe, teremos o seguinte,

$\mathsf{\Longrightarrow x^2 + (y - y_o)^2 = 1}$

$\mathsf{\Longrightarrow (y - y_o)^2 = 1 - x^2}$

$\mathsf{\Longrightarrow y - y_o = \pm \sqrt{1 - x^2}}$

$\mathsf{\Longrightarrow y = y_o \pm \sqrt{1 - x^2}}$

$\Longrightarrow \boxed{\mathsf{y = y_o - \sqrt{1 - x^2}}}$

Evidentemente que no ponto de tangência, as inclinações da recta (considerando $y = 2x$) e do semicírculo devem ser iguais, portanto,

$\Longrightarrow \mathsf{\dfrac{d}{dx} \Big(2x \Big) = \dfrac{d}{dx} \left(y_o - \sqrt{1 - x^2} \right)}$

(note que $\mathsf{y_o}$ é uma constante)

$\iff \mathsf{2 = -\dfrac{-\cancel{2}x}{ \cancel{2}\sqrt{1 - x^2} }}$

$\iff \mathsf{2 = \dfrac{x}{2\sqrt{1 - x^2} }}~~~,\mathsf{com~ \underline{\green{0 \leqslant x < 1}}}$

$\iff \mathsf{ \green{\Big(} 2\sqrt{1 - x^2} \green{\Big)^2} = x^2 } ~~~,\mathsf{com~ \underline{\green{0 \leqslant x < 1}}}$

$\iff \mathsf{4 = 5x^2}~~~,\mathsf{com~ \underline{\green{0 \leqslant x < 1}}}$

$\iff \mathsf{x = \pm \dfrac{2\sqrt{5} }{5} } ~~~,\mathsf{com~ \underline{\green{0 \leqslant x < 1}}}$

$\\ \iff \boxed{ \mathsf{x = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}} }$

Portanto, o valor da coordenada y da tangência será,

$\mathsf{y = 2x}$

$\Longrightarrow \mathsf{y = 2 \left( \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right)}$

$\iff \boxed{\mathsf{y = \dfrac{4\sqrt{5}}{5} }}$

Sabendo que a inclinação da equação do segmento da recta perpendicular a $y = 2x$ (tangência) é $-\dfrac{1}{2}$ teremos que,

$\iff \mathsf{y - \dfrac{4\sqrt{5}}{5} = - \dfrac{1}{2} \left(x - \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right)}$

$\iff \mathsf{y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt{5}}{5} + \dfrac{4\sqrt{5}}{5} }$

$\iff \boxed{\mathsf{y = -\dfrac{1}{2}x + \sqrt{5} }}$

Deste modo, teremos que,

$\mathsf{y_o = \sqrt{5}}$

Assim, as coordenadas do centro são $\mathsf{C(0; \sqrt{5})}$ e a equação do semicírculo inferior será dada por,

$\mathsf{\Longrightarrow \boxed{y = \sqrt{5} - \sqrt{1 - x^2}}}$

Deste modo, a área da região situada entre as curvas será dada por,

$\boxed{\underset{ \text{Sombreada}} { \text{Area}} = \displaystyle\int_{0}^{ \frac{2 \sqrt{5} }{2} }f(x)~dx}$

$\text{Sendo}~f(x) = \Bigg[\Big(\sqrt{5} - \sqrt{1 - x^2} \Big) - 2x\Bigg]$

Portanto, calculando a seguinte integral definida,

$\underset{ \text{Sombreada}} { \text{Area}} = 2*\displaystyle\int_{0}^{ \frac{2 \sqrt{5} }{5} } \Bigg(\sqrt{5} - 2x - \sqrt{1 - x^2} \Bigg)~dx$

(a multiplicação por 2 deve-se a simetria) portanto,

$\\ \underset{ \text{Sombreada}} { \text{Area}} = 2\displaystyle\int_{0}^{ \frac{2 \sqrt{5} }{5} } \Bigg(\sqrt{5} - 2x - \sqrt{1 - x^2} \Bigg)~dx = 2\left(5x - x^2 - \dfrac{1}{2}\sqrt{1 - x^2} - \dfrac{1}{2} \arcsin(x)\right) \Bigg|_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5} }$

$\\ \boxed{\underset{ \text{Sombreada}} { \text{Area}} = 2\Bigg[1 - \dfrac{1}{2} \arcsin \left( \dfrac{2\sqrt{5}}{{5}}\right) \Bigg]u.a}$

Ou simplesmente podemos efectuar as operações simples (com auxílio da calculadora), simplificando o nosso resultado para,

$\\ \boxed{\underset{ \text{Sombreada}} { \text{Area}} = 0,89u.a}$

Espero ter colaborado, caso hajam dúvidas pode deixar no campo dos comentários!)