Question

A circunferência de equação geral x² + y² +6x -14y -42=0 tem centro C (m, n) e raio R. sendo assim, a expressão (n - m + R)² vale:

A) 0

B) 1

C) 100

D) 225

E) 400

Answer 1

Olá, tudo bem?

Tópico: GEOMETRIA ANALÍTICA

A equação reduzida de uma circunferência de centro C (xo; yo) e raio R é dada por:

(x—xo)² + (y—yo)² = R²

Neste caso, teremos que escrever a equação x² + y² + 6x - 14y - 42 = 0 na forma reduzida.

Assim, teremos:

x² + y² + 6x — 14y — 42 = 0

=> x² + y² + 6x — 14y = 42

=> x² + 6x + y² — 14y = 42, teremos que preencher os quadrados; de modo a obtermos um caso notável.

x² + 6x + 3², pois, por definição, tem-se o primeiro monômio ao quadrado, mais (ou menos) o dobro do primeiro monômio pelo segundo mais o segundo monômio ao quadrado. Daí, fica claro que o primeiro monômio é x, então 6x = 2•3•x, por isso, o segundo termo é 3, e, deve estar ao quadrado!

Note que o 2 é da fórmula!

Segue-se o mesmo raciocínio para y² — 14y:

y² — 2•7•y + 7².

E, como estamos adicionando novos coeficientes ao primeiro membro, então, de modo a equilibrar teremos que adicioná-los, também, no segundo membro. Portanto:

x² + 6x + 3² + y² — 14y + 7² = 42 + 3² + 7²

Do conhecimento sobre casos notáveis, sabe-se:

(a±b)² = a² ± 2•a•b + b²

Então, podemos escrever o primeiro membro como:

(x + 3)² + (y — 7) = 42 + 9 + 49

=> (x + 3)² + (y — 7)² = 100

E, como sabemos que nao forma reduzida da equação da circunferência o raio R escreve-se ao quadrado, teremos: R² = 100 => R = 10

=> (x + 3)² + (y — 7)² = 10²

Extraindo os dados:

• CENTRO (3;—7); => m = 3 e n = — 7
• RAIO = 10.

Portanto:

(n — m + R)² = (— 7 — 3 + 10)²

(n — m + R)² = 0²

(n — m + R)² = 0

Letra A

Espero ter ajudado!

Answer 2

A definição da alternativa correta é feita a seguir.

Explicação passo-a-passo:

Reorganizando os termos da equação, temos:

$x^2+y^2+6x-14y-42=0\\\\x^2+6x+y^2-14y=42$

Completando os quadrados:

$(x^2+2\;.\;3\;.\;x+3^2)+(y^2-2\;.\;7\;.\;y+7^2)=42+3^2+7^2\\\\(x^2+6x+9)+(y^2-14y+49)=42+9+49\\\\(x+3)^2+(y-7)^2=100\\\\(x+3)^2+(y-7)^2=10^2$

Logo, temos:

$C(m,n)=(-3,7)\\\\R=10\\\\\\(n-m+R)^2=(7+3+10)^2=20^2=400$

Portanto, a alternativa correta é a letra E.