Question

A circunferência de centro c(1,1) é tangente à reta de equação r:x+y-4=0. Determine a equação da circunferência

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, a equação da circunferência é x² + y² -2x -2y = 0.

A distância do centro da circunferência à reta deve ser igual ao raio da circunferência.

Uma circunferência de centro $\textstyle \sf \sf C (x_0,y_0)$ e raio $\textstyle \sf \sf R$ e $\textstyle \sf \sf r$ uma reta de equação geral  ax +by + c = 0.

A distância é calculada pela equação:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{ \mid ax_0 + by_0 + c \mid}{\sqrt{a^2 + b^{2} } } } } }$

Uma circunferência de centro $\textstyle \sf \sf C (a, b)$ e raio $\textstyle \sf \sf R$ é o conjunto de todos os pontos $\textstyle \sf \sf P (x, y)$ do plano equidistantes de $\textstyle \sf \sf O$.

Equação da circunferência é dado por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{(x -a)^2 +(y-b)^2 = R^2 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf C (1,1) \\ \sf r:x+y - 4 = 0 \end{cases} } }$

Calculando a distância do ponto ( 1,1) à reta r, dada por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{\mid ax_0 + by_0 + c \mid }{\sqrt{a^2 + b^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{ \mid1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 4 \mid}{\sqrt{1^2 + 1^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{\mid 1 + 1 - 4 \mid}{\sqrt{1^2 + 1^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{\mid 2 - 4 \mid}{\sqrt{1 + 1 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{\mid -2 \mid}{\sqrt{2 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{2}{\sqrt{2 } } \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{2 \: \sqrt{2} }{\sqrt{4 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{2 \: \sqrt{2} }{2 } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = \sqrt{2} }$

A equação de uma circunferência é dada por:

$\Large \displaystyle \mathsf{(x -a)^2 +(y-b)^2 = R^2 = d^2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{(x -1)^2 +(y-1)^2 = \left( \sqrt{2} \right)^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -2x +1 +y^{2} -2y + 1 = 2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +y^{2} - 2x-2y = 2 -1- 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +y^{2} - 2x-2y = 2 - 2 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x^2+y^2 -2x-2y = 0}$

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