Question

A circunferência C de centro (2 , 5) é tangente a reta s:x + 4 – 4 = 0. Qual é a equação dessa circunferência?

Answer 1

A equação da circunferência é $\mathsf{(x-2)^2+(y-5)^2=\dfrac{324}{17}.}$

Explicação

É dito que a circunferência de centro (2, 5) é tangente à reta s: x + 4y – 4 = 0. Dessa forma, a distância entre o centro da circunferência e a reta é igual ao raio.

Vamos calcular o raio usando a fórmula de distância entre ponto e reta.

Distância entre ponto e reta

Sejam um ponto $\mathsf{P(x_0,\,y_0)}$ e uma reta s: $\mathsf{ax+by+c=0.}$ A distância d entre P e s é dada pela seguinte fórmula:

$\boxed{\mathsf{d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}.}$

Calemos, então, a distância entre o ponto (2, 5) e a reta $\mathsf{x+4y-4=0,}$ que é a medida do raio (r) da circunferência.

$\mathsf{r=\dfrac{|1\cdot 2+4\cdot 5-4|}{\sqrt{1^2+4^2}}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{r=\dfrac{|2+20-4|}{\sqrt{1+16}}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{r=\dfrac{|18|}{\sqrt{17}}}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{r=\frac{18}{\sqrt{17}}}}$

Por fim, basta substituir o ponto (2, 5) e a medida do raio encontrada na equação reduzida da circunferência.

Vamos relembrar a fórmula da equação reduzida.

Equação reduzida da circunferência

Seja C(a, b) o centro de uma circunferência de raio r. Um ponto P(x, y) pertence a essa circunferência se ele satisfaz a seguinte equação:

$\boxed{\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}}$

Substituindo os dados desta tarefa, segue que:

$\displaystyle\mathsf{(x-2)^2+(y-5)^2=r^2}\implies\\\\\\\implies\mathsf{(x-2)^2+(y-5)^2=\left(\frac{18}{\sqrt{17}}\right)^2}\implies\\\\\\\implies\boxed{\boxed{\mathsf{(x-2)^2+(y-5)^2=\frac{324}{17}}}}$

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Espero ter ajudado! :)