Question

A chave $S {1}$ da Figura é fechada em t = 0 s e a chave $S {2}$
é fechada em t = 2 s.
a) Calcule $i(t)$ para qualquer t;
b) Calcule $i(1)$ e $i(3)$.

Answer 1

Esse é o problema prático 7.13 do livro do Sadiku, 5ª edição.

a)

Antes de t = 0 s, a chave $S_1$ se encontra aberta.

Isso significa que a única porção cuja corrente é não-nula está à esquerda da chave $S_1$ (Primeira figura em anexo).

Ou seja, a corrente $i(0)$ é nula:

$\boxed{i(t) = 0\text{ , } t < 0 \text{ s}}$

Quando t = 0 s, a chave $S_1$ fecha, conectando a fonte de corrente com o resto do circuito. Nesse caso, podemos fazer uma transformação da fonte de corrente em fonte de tensão, para simplificar a análise do circuito. O circuito equivalente nesse caso é mostrado na segunda figura em anexo.

$V_s = I_s \cdot 15$

$V_s = 6 \cdot 15$

$V_s = 90 \Omega$

Ou seja, agora teremos três resistências associadas em série. Calculando o equivalente:

$R_{eq} = 15 + 10 + 20 = 45 \Omega$

O circuito equivalente é mostrado na terceira figura em anexo.

Então, para t > 0 s, aplicando a Lei de Kirchoff das Tensões, teremos:

$V_s - V_R - V_L = 0$

$90 - 45 \cdot i(t) - 5 \cdot \dfrac{di(t)}{dt} = 0$

Dividindo tudo por -5:

$\dfrac{di(t)}{dt} + 9 \cdot i(t) = 18$

Ou seja, temos de resolver uma equação diferencial de primeira ordem. Aqui você pode utilizar o método que julgar mais fácil. Eu vou aplicar a Transformada de Laplace.

$\mathcal{L}\left[\dfrac{di(t)}{dt}\right] + 9 \cdot \mathcal{L}\left[i(t)\right] = 18 \cdot \mathcal{L}\left[u(t)\right]$

Transformando para o domínio de Laplace:

$s \cdot I(s) - i(0) + 9 \cdot I(s) = 18 \cdot \dfrac{1}{s}$

Como a corrente inicial, i(0) é nula para t < 0 s, esse termo some. Teremos então:

$I(s) \cdot (s + 9) = 18 \cdot \dfrac{1}{s}$

$I(s) = 18 \cdot \dfrac{1}{s} \cdot \dfrac{1}{s + 9}$

Aqui, antes de aplicar a Transformada Inversa de Laplace e retornar ao domínio do tempo, aplico o método de Decomposição em Frações Parciais para transformar o produto das frações acima em uma soma:

$I(s) = 18 \cdot \left[\dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s + 9}\right]$

$\left \{ {{A + B =0} \atop {9 \cdot A=1}} \right.$

Assim sendo:

$A = \dfrac{1}{9}$

$B = - \dfrac{1}{9}$

Substituindo:

$I(s) = \dfrac{18}{9} \cdot \left[\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + 9}\right]$

$I(s) = 2 \cdot \left[\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + 9}\right]$

Agora sim, volto ao domínio do tempo:

$i(t) = 2 \cdot \left[\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+9}\right]\right]$

$i(t) = 2 \cdot \left[1 - e^{-9 \cdot t}\right]$

$\boxed{i(t) = 2 \cdot \left[1 - e^{-9 \cdot t}\right] \text{ , } 0 < t < 2\text{ s}}$

Antes de prosseguir, calculamos a corrente no indutor, instantes antes de fechar a chave $S_2$, $t = 2^- \text{ s}$:

$i(2^-) = 2 \cdot \left[1 - e^{-9 \cdot 2}\right]$

$i(2^-) = 2 \cdot \left[1 - e^{-18}\right]$

$i(2^-) \approx 2\text{ A}$

Ok, agora vamos considerar o caso onde a chave $S_2$ é fechada.

Nesse caso, ocorrerá um curto-circuito e o resistor de $20 \Omega$ é removido do circuito equivalente. Nesse caso, a resistência equivalente é:

$R_{eq} = 15 + 10$

$R_{eq} = 25 \Omega$

O circuito equivalente é mostrado na quarta figura em anexo.

Então, para t > 2 s, aplicando a Lei de Kirchoff das Tensões, teremos:

$V_s - V_R - V_L = 0$

$90 - 25 \cdot i(t) - 5 \cdot \dfrac{di(t)}{dt} = 0$

Dividindo tudo por -5:

$\dfrac{di(t)}{dt} + 5 \cdot i(t) = 18$

Repetindo o processo da Transformada de Laplace:

$s \cdot I(s) - i(2^-) +5 \cdot I(s) = 18 \cdot \dfrac{1}{s}$

Então:

$I(s) = 18 \cdot \dfrac{1}{s} \cdot \dfrac{1}{s + 5} + 2 \cdot \dfrac{1}{s+5}$

A decomposição em frações parciais segue o mesmo roteiro, mas dessa vez teremos:

$A = \dfrac{1}{5}$

$B = - \dfrac{1}{5}$

Assim, voltando para o domínio do tempo:

$i(t) = \dfrac{18}{5} \cdot \left[1 - e^{-5 \cdot (t - 2)}\right] + 2 \cdot e^{-5 \cdot (t - 2)}$

$\boxed{i(t) = 3.6- 1.6 \cdot e^{-5 \cdot (t - 2)}\text{ , } t > 2\text{ s}}$

Agrupando as soluções:

$i(t) = \left \{ {{0\text{ , }t<0} \atop {2 \cdot \left[1 - e^{-9 \cdot t}\right] \text{ , } 0 < t < 2\text{ s} \atop {3.6- 1.6 \cdot e^{-5 \cdot (t - 2)}\text{ , } t > 2\text{ s}} \right.$

b)

Agora simplesmente substituimos t = 1 na segunda equação e t = 3 na terceira:

$i(1) = 2 \cdot \left[1 - e^{-9 \cdot 1}\right]$

$i(1) = 2 \cdot \left[1 - e^{-9}\right]$

$\boxed{i(1) = 1.99975318 \text{ A}}$

$i(3) = 3.6- 1.6 \cdot e^{-5 \cdot (3-2)}$

$i(3) = 3.6- 1.6 \cdot e^{-5}$

$\boxed{i(3) = 3.5892192\text{ A}}$