Question

A charada é simples, basicamente você terá que abater 30 animais em 15 dias, terá que abater os animais somente em número ímpar sem falhar um dia.

Answer 1

A charada consiste no seguinte problema:

De quantas formas possíveis eu posso arranjar alguns números ímpares (que podem se repetir), de forma que a sua soma dê $30$?

Primeiro devemos achar o conjunto das possibilidades para escolhas das quantidades de animais para abater por dia.
Se encolhermos qualquer número ímpar maior que $15$ animais para matar em qualquer um dos dias (ou seja, de $17$ em diante), seria impossível arranjar os outros $14$ dias com as quantidades que sobram, de forma que a soma no final totalize $30$, pois a cada dia teríamos que matar no mínimo $1$ animal, e assim, o total ultrapassaria $30$.

Por exemplo: Se em algum dos dias escolhermos matar $17$ animais, teríamos que arranjar uma maneira de matar os outros $30-17=13$ animais que restaram nos outros $14$ dias, o que seria impossível, já que o mínimo de animais que podemos matar por dia é $1$. O mesmo ocorreria se escolhêssemos matar mais que $17$ animais em um único dia.

Logo o conjunto das possibilidades para a quantidade de animais mortos em cada dia é

$A=\{1,3,5,7,9,11,13,15\} \\ \\ \text{n}(A)=8\text{ elementos}$

O total de somas de 15 parcelas entre estes números é de $8^{15}$, já que pode haver repetição de uma mesma parcela. Mas nosso problema tem algumas restrições.

Queremos encontrar uma combinação dos elementos de $A$, cuja soma dê $30$ animais, e o total de coeficientes inteiros $\alpha_{i}$ não ultrapassem o número de dias máximo que é $15 \text{ dias}$.

os coeficientes $\alpha_{i}$ indicam quantas vezes foram escolhidas a mesma quantidade $n_{i}$ de animais para matar durante os $15$ dias, onde $n_{i} \in A$ e $1 \leq i \leq8$. Assim, temos algumas condições a serem respeitadas:

$\alpha_{i} \in \mathbb{N}\\ \\ \sum_{i=1}^{8}\alpha_{i}=15\\ \\ \sum_{i=1}^{8}\alpha_{i} \cdot n_{i}=30$

(i) Ao escolhermos uma quantidade ímpar de um mesmo elemento $n_{i}$ do conjunto $A$, ou seja, se $\alpha_{i}$ é impar, e sabendo que $n_{i}$ também é ímpar (pois $n_{i} \in A$), temos que

em $15-\alpha_{i}$ dias, (que é um número par de dias restantes)
faltam matar $30-\alpha_{i} \cdot n_{i}$ animais, (que é um número ímpar de animais)

Logo, temos que matar um número ímpar de animais em um número par de dias restantes. Isto é impossível, dadas as condições do problema.

(ii) Ao escolhermos uma quantidade par de um mesmo elemento $n_{i}$ do conjunto $A$, ou seja, se $\alpha_{i}$ é par, e sabendo que $n_{i}$ é ímpar (pois $n_{i} \in A$), temos que

em $15-\alpha_{i}$ dias, (que é um número ímpar de dias restantes)
faltam matar $30-\alpha_{i} \cdot n_{i}$ animais, (que é um número par de animais)

Logo, temos que matar um número par de animais em um número ímpar de dias restantes, o que também é impossível, dadas as condições do problema.

Outra forma de raciocinar é: Temos que matar um número par de animais $(30)$ em um número ímpar de dias $(15)$, sendo que a cada dia eu só posso matar um número ímpar de animais. Assim eu tenho uma soma de $15$ parcelas de números ímpares, o que obviamente teria como resultado um total ímpar. Sendo assim

$\text{\'E imposs\'ivel obter uma combina\c c\~ao de quantos animais foram mortos} \\ \text{em cada um dos 15 dias, de modo que o total de animais mortos}\\ \text{seja 30.}$