Question

A casa central de uma fazenda situa-se a 9km, contados ao longo de um caminho perpendicular à estrada reta que limita a fazenda. Na beira da estrada e a uma distância de 15 km da casa central, o fazendeiro construiu uma casa para seu filho. O fazendeiro agora quer construir, na beira da mesma estrada, um escritório que fique igualmente distanciado da casa do filho e da casa central. A distância comum deve ser:

Answer 1

Como pode ser visto nas figuras, existem duas possibilidades a depender de como esão orientadas as posiições das duas casas.

Em todo caso, a posição do escritório será encontrada através da  reta que é perpendicular e passa pelo ponto médio da reta de separação entre as casas.

Observe que ao desenhar um circulo onde se tem as casas como extremidades (pontos A e B na figura) e traçar uma reta perpendicular à distancia entre as casas estamos sempre marcando, nesta reta perpendicular, distancias  AD e BD iguais.

Primeiro passo: Obter a distancia da casa do filho até a "origem" (que é o ponto que marca a interseção da estrada e do caminho perpendicular à estrada)

Pelo teorema de pitágoras, teremos

$15^2=9^2+x^2$

$x^2=15^2-9^2$

$x^2=144$

$x=12$

Além disso, o ponto médio será M=$(\frac{12}{2},{9}{2})$

Segundo passo vamos trabalhar com os dois casos possíveis:

Caso 1: Distancia de 9 metros no eixo y:

Está separada em 3 partes:

parte 1) encontrar a reta AB

A equação da reta AB é $y=-\frac{3}{4} x + 9$

E a reta perpendicular que passa pelo ponto médio é  $y=+\frac{4}{3} x -3.5$

A reta AB é encontrada pelos pontos

A=(0,9)

B=(12,0)

Assim teremos a equação  y = ax + b

para o ponto A, teremos x=0 e encontramos

9 = a$\times$0 + b

portanto b=9 e a equação fica

y = ax + 9

Agora, substituimos o ponto B

0=a$\times$12+9.

a=$-\frac{3}{4}$

Portanto a equação é  $y=-\frac{3}{4} x + 9$

parte 2) encontrar a reta perpendicular à AB

A reta perpendicular é encontrada pela equação da reta AB e o ponto M usando o método que vc pode ver nesta questão: https://brainly.com.br/tarefa/3931667

reta AB:  $y=-\frac{3}{4} x + 9$

ponto M: ($\frac{12}{2},{9}{2}$)

Então a reta perpendicular à AB é   $y=\frac{4}{3} x + c$

E ao trocar o x e y pelo ponto M, teremos

$4,5=\frac{4}{3} 6 + c$

$4,5=8 + c$

$c=-3.5$ e por isso $y=\frac{4}{3} x -3.5$

Parte 3) encontrar o ponto quedá as distancias iguais:

Basta colocar y=0 na equação $y=\frac{4}{3} x -3.5$

$0=\frac{4}{3} x -3.5$

$\frac{4}{3} x =3.5$

$x =\frac{3\times3.5}{4}$

$x =\frac{10.5}{4}=2.625$

Caso 2: Distancia de 9 metros no eixo x:

parte 1) encontrar a reta AB

procedemos da mesma forma como foi feito no caso 1 e encontramos a reta $y=-\frac{4}{3}x+12$

parte 2) encontrar a reta perpendicular à AB

procedemos da mesma forma como foi feito no caso 1 e encontramos a reta $y=+\frac{3}{4}x+\frac{21}{8}$

Parte 3) encontrar o ponto quedá as distancias iguais:

Da mesma forma como no caso 1), basta colocar y=0 na equação $y=+\frac{3}{4}x+\frac{21}{8}$

$0=\frac{3}{4}x+\frac{21}{8}$

$\frac{3}{4}x=-\frac{21}{8}$

$x =-\frac{4\times21}{3\times8}$

$x =-\frac{7}{2}=-3.5$

Answer 2

No triângulo retângulo formado pela pela Casa central, Casa do filho e a estrada, têm-se:

9²+y²=15²        y=12

Como a distância entre a Casa do filho e a Casa principal em relação ao Escritório tem que ser a mesma, pode-se chamar ambas de x.

Assim, forma-se um triângulo retângulo cujos catetos são 12-x e 9:

9²+(12-x)²=x²      x=9,375

Resposta d, entre 9 e 10 km