Question

a) Calcule o gradiente da função z = x³y + xy³ no ponto p = (-1, 1).
b) determine a derivada da função, partindo do ponto p e na direção do vetor u = (4, 3)

Answer 1

Dada a função  de duas variáveis

     z = x³y + xy³

calcular


a)  O gradiente da função em um ponto  (x, y)  do domínio.

O gradiente é um vetor, cujas coordenadas são as respectivas derivadas parciais da função:

     $\nabla z(x,\,y)=\left\langle \dfrac{\partial z}{\partial x},\,\dfrac{\partial z}{\partial y} \right\rangle\\\\\\ \nabla z(x,\,y)=\left\langle \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y+xy^3),\,\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y+xy^3) \right\rangle$

     $\nabla z(x,\,y)=\left\langle 3x^2y+y^3,\,x^3+3xy^2\right\rangle$


No ponto  P(− 1, 1),  o vetor gradiente é

     $\nabla z(-1,\,1)=\left\langle 3\cdot (-1)^2\cdot 1+1^3,\,(-1)^3+3\cdot (-1)\cdot 1^2 \right\rangle\\\\ \nabla z(-1,\,1)=\left\langle 3\cdot 1\cdot 1+1,\,-1+3\cdot (-1)\cdot 1 \right\rangle\\\\ \nabla z(-1,\,1)=\left\langle 3+1,\,-1-3 \right\rangle$

     $\nabla z(-1,\,1)=\left\langle 4,\,-4 \right\rangle$    <————    esta é a resposta.

—————

b)  Como  z  é uma função polinomial, ela é diferenciável em todos os pontos. Dessa forma, podemos computar a derivada direcional partindo do ponto  P(− 1, 1)  usando o produto escalar do gradiente de  z  pelo versor de  $\overrightarrow{u}=\langle 4,\,3\rangle.$
     
No ponto  P(− 1, 1),  o valor da derivada direcional será

     $\dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\nabla z(-1,\,1)\cdot \dfrac{\overrightarrow{u}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\left\langle 4,\,-4\right\rangle\cdot \dfrac{\left\langle 4,\,3\right\rangle}{\left\|\left\langle4,\,3\right\rangle\right\|}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\left\langle 4,\,-4\right\rangle\cdot \dfrac{\left\langle 4,\,3\right\rangle}{\sqrt{4^2+3^2}}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\left\langle 4,\,-4\right\rangle\cdot \dfrac{\left\langle 4,\,3\right\rangle}{\sqrt{16+9}}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\left\langle 4,\,-4\right\rangle\cdot \dfrac{\left\langle 4,\,3\right\rangle}{\sqrt{25}}$

     $\dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\left\langle 4,\,-4\right\rangle\cdot \dfrac{\left\langle 4,\,3\right\rangle}{5}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\dfrac{4\cdot 4+(-4)\cdot 3}{5}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\dfrac{16-12}{5}$

     $\dfrac{\partial z}{\partial \overrightarrow{u}}(-1,\,1)=\dfrac{4}{5}$    <————  esta é a resposta.


Bons estudos! :-)