Question

(A) Calcule a distância do ponto P(6,-4) á origem (0,0)
(B)a distância entre os pontos A(x,3) e B(-1,7) é 5. calcule os valores de x

Answer 1

Fórmula da distância entre dois pontos $P_{1}\left(x_{1},\,y_{1} \right )$ e $P_{2}\left(x_{2},\,y_{2} \right )$:

$d_{P_{1},\,P_{2}}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$


(A) Distância entre os pontos $P\left(6,\,4 \right )$ e a origem $O\left(0,\,0 \right )$:

$d_{P,\,O}=\sqrt{\left(0-6 \right )^{2}+\left(0-\left(-4 \right ) \right )^{2}}\\ \\ d_{P,\,O}=\sqrt{\left(-6 \right )^{2}+\left(0+4 \right )^{2}}\\ \\ d_{P,\,O}=\sqrt{36+16}\\ \\ d_{P,\,O}=\sqrt{52}\\ \\ d_{P,\,O}=\sqrt{2^{2}\cdot 13}\\ \\ d_{P,\,O}=\sqrt{2^{2}}\cdot \sqrt{13}\\ \\ d_{P,\,O}=2\sqrt{13}\text{ u.c.}$


(B) A distância entre $A\left(x,\,3 \right )$ e $B\left(-1,\,7 \right )$ é igual a $5$. Logo,

$d_{A,\,B}=5\\ \\ \sqrt{\left(-1-x \right )^{2}+\left(7-3 \right )^{2}}=5\\ \\ \sqrt{1+2x+x^{2}+\left(4 \right )^{2}}=5\\ \\ \sqrt{1+2x+x^{2}+16}=5\\ \\ \sqrt{x^{2}+2x+17}=5\\ \\ \left(\sqrt{x^{2}+2x+17} \right )^{2}=\left(5\right)^{2}\\ \\ x^{2}+2x+17=25\\ \\ x^{2}+2x+17-25=0\\ \\ x^{2}+2x-8=0\\ \\ x^{2}-2x+4x-8=0\\ \\ x\cdot \left(x-2 \right )+4\cdot \left(x-2 \right )=0\\ \\ \left(x-2 \right )\cdot \left(x+4 \right )=0\\ \\ x-2=0\;\;\text{ ou }\;\;x+4=0\\ \\ x=2\;\;\text{ ou }\;\;x=-4$