Question

a) Calcular I = ∫ 2x+3 / x2 +4x - 5 dx por decomposição em frações parciais.
b) Derive a sua resposta, e confirme que o resultado dá a função inicial: ou seja:
Se ∫ 2x+3 / x2 +4x - 5 dx = F'(x) então => F'(x) = 2x+3 / x2 +4x - 5

Answer 1

$\displaystyle\int\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}\,dx$

Para decompor a fração em frações parciais, precisamos da raiz do denominador (quando elas são reais)

Nesse caso, a soma e o produto das raízes de $x^{2}+4x-5$ são, respectivamente,

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{1}=-4\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-5}{1}=-5$

Podemos pensar facilmente em dois números que somam -4 e têm produto -5: são o 1 e o -5, pois 1 + (-5) = -4 e 1 . (-5) = -5

Além disso, podemos escrever o polinômio x² + 4x - 5 como

$x^{2}+4x-5=(x-1)\cdot(x-[-5])=(x-1)(x+5)$

Então, queremos encontrar constantes A e B tais que

$\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+5}$

Somando as frações:

$\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}=\dfrac{A(x+5)+B(x-1)}{(x-1)(x+5)}\\\\\\\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}=\dfrac{Ax+5A+Bx-B}{x^{2}+4x-5}\\\\\\\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}=\dfrac{(A+B)x+(5A-B)}{x^{2}+4x-5}$

Como os numeradores são iguais, as duas frações serão iguais s.s.e seus numeradores forem iguais, isto é, se

$(A+B)x+(5A-B)=2x+3$

Isso acontecerá se e somente se

$\begin{cases}\,\,\,A+B=2\\5A-B=3\end{cases}$

Somando as equações:

$(A+5A)+(B-B)=2+3\\\\6A=5\\\\A=\dfrac{5}{6}$

Encontrando B usando a primeira equação:

$A+B=2\\\\B=\displaystyle2-A\\\\\\B=2-\frac{5}{6}\\\\\\B=\frac{12}{6}-\frac{5}{6}\\\\\\B=\frac{12-5}{6}\\\\\\B=\dfrac{7}{6}$

Com isso, encontramos que

$\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}=\dfrac{\big(\frac{5}{6}}{x-1}+\dfrac{\big(\frac{7}{6}\big)}{x+5}$

Agora, a integral se torna simples:

$\displaystyle\int\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}\,dx=\int\bigg[\dfrac{\big(\frac{5}{6}\big)}{x-1}+\dfrac{\big(\frac{7}{6}\big)}{x+5}\dfrac{}{}\bigg]\,dx\\\\\\=\dfrac{5}{6}\int\dfrac{1}{x-1}\,dx+\dfrac{7}{6}\int\dfrac{1}{x+5}\,dx$

Fazendo $u=x-1,\,\,v=x+5$, temos $du=dx,\,\,dv=dx$. Então:

$\displaystyle\int\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}\,dx=\dfrac{5}{6}\int\dfrac{1}{u}\,du+\dfrac{7}{6}\int\dfrac{1}{v}\,dv\\\\\\\int\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}\,dx=\dfrac{5}{6}\log|u|+\dfrac{7}{6}\log|v|\\\\\\\boxed{\boxed{\int\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}\,dx=\dfrac{5}{6}\log|x-1|+\dfrac{7}{6}\log|x+5|}}$
_____________________________________

Prova real da integral: Vamos derivar a função encontrada e chegar no integrando

Utilizaremos a derivada do módulo: $\frac{d}{dx}|x|=\dfrac{x}{|x|}$

$\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{5}{6}\log|x-1|+\dfrac{7}{6}\log|x+5|\bigg]=\dfrac{5}{6}\dfrac{d}{dx}\log|x-1|+\dfrac{7}{6}\dfrac{d}{dx}\log|x+5|\\\\\\=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{1}{|x-1|}\dfrac{d}{dx}|x-1|+\dfrac{7}{6}\dfrac{1}{|x+5|}\dfrac{d}{dx}\log|x+5|\\\\\\=\dfrac{5}{6}\dfrac{1}{|x-1|}\dfrac{|x-1|}{x-1}\dfrac{d}{dx}(x-1)+\dfrac{7}{6}\dfrac{1}{|x+5|}\dfrac{|x+5|}{x+5}\dfrac{d}{dx}(x+5)\\\\\\=\dfrac{5}{6}\dfrac{1}{x-1}\cdot1+\dfrac{7}{6}\dfrac{1}{x+5}\cdot1$

$\displaystyle=\dfrac{1}{6}\cdot\bigg[\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{7}{x+5}\bigg]\\\\\\=\dfrac{1}{6}\cdot\bigg[\dfrac{5(x+5)+7(x-1)}{(x-1)(x+5)}\bigg]\\\\\\=\dfrac{1}{6}\cdot\bigg[\dfrac{5x+25+7x-7}{x^{2}+4x-5}\bigg]\\\\\\=\dfrac{1}{6}\cdot\bigg[\dfrac{12x-18}{x^{2}+4x-5}\bigg]\\\\\\=\dfrac{1}{6}\cdot\bigg[6\cdot\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}\bigg]\\\\\\=\dfrac{2x+3}{x^{2}+4x-5}$