Question

A brincadeira “galinha choca” consiste em um participante em pé e uma quantidade não limitada de participantes sentados em roda igualmente espaçados dos membros à esquerda e à direita. Aquele que está em pé gira por fora da roda (por detrás dos participantes) e, quando achar conveniente, esconde um objeto convencionado atrás de um integrante da roda, uma vez que aqueles que permanecem sentados não devem olhar para trás frequentemente. Assim que este integrante perceber, deve segurar o objeto, levantar-se e perseguir aquele que estava em pé. O que estava inicialmente em pé vence se conseguir sentar-se em segurança no lugar antes ocupado e o que estava inicialmente sentado vence se tocá-lo antes disso.

Se durante uma brincadeira, entre os participantes que estavam sentados, todos se cumprimentaram com um aperto de mão, totalizando 45 apertos de mão, o número total de participantes da atividade é:

A
11

B
12

C
13

D
14

E
15

Answer 1

Seja n o número de participantes que participam sentados. A quantidade de maneiras distintas que essas n pessoas podem se cumprimentar com apertos de mão é o cálculo do número de combinações simples de n elementos, tomados 2 a 2.

     $\mathsf{C_{n,\,2}=45}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n!}{2!\cdot (n-2)!}=45}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{2!\cdot (n-2)!}=45}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n\cdot (n-1)}{2\cdot 1}=45}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n\cdot (n-1)}{2}=45}\\\\\\ \mathsf{n\cdot (n-1)=2\cdot 45}\\\\ \mathsf{n\cdot (n-1)=90}$


Como n é inteiro positivo, basta encontramos dois números inteiros consecutivos cujo produto é 90.

O valor n = 10 satisfaz o problema, pois

     $\mathsf{10\cdot (10-1)=90}$


Você poderia encontrar esse valor também ao resolver a equação quadrática para a variável n

     $\mathsf{n\cdot (n-1)=90}\\\\ \mathsf{n^2-n=90}\\\\ \mathsf{n^2-n-90=0}$

e tomar apenas a solução inteira positiva, isto é

     $\mathsf{n=10}$


Como n é a quantidade de participantes que estão sentados, então o total de participantes da atividade é

     $\mathsf{n+1}\\\\\mathsf{=10+1}\\\\ \mathsf{=11~participantes\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


Resposta: alternativa  A) 11.


Bons estudos! :-)