Question

A base maior de um trapézio isósceles ABCD mede 100cm, a base menor 60cm e a medida de cada um de seus ângulos agudos é 60∘, conforme ilustrado na figura a seguir---->

a)Mostre que os triângulos AED e BFC são congruentes;

b) Determine o perímetro e a área do trapézio ABCD.

Lembre-se do seguinte resultado:

Teorema: A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo tem comprimento igual a metade do comprimento da hipotenusa.

Answer 1

Como trapézio $ABCD$ é isósceles temos que $\text{AE}={BF}=\dfrac{100-60}{2}=20~\text{cm}$

Assim, os triângulos AED e BCF têm um lado adjacente ao mesmo ângulo (60º) em comum e os ângulos internos iguais, logo eles são congruentes.

Determinando as medidas dos outros lados desses triângulos:

Utilizando a tangente de $60^{\circ}$ nos triângulos retângulos $\text{AED}$ e $\text{BFC}$ obtemos:

$\text{tg}~60^{\circ}=\dfrac{\text{DE}}{\text{AE}} \iff \sqrt{3}=\dfrac{\text{DE}}{20} \iff \text{DE}=20\sqrt{3}~\text{cm}$


$\text{tg}~60^{\circ}=\dfrac{\text{CF}}{\text{BF}} \iff \sqrt{3}=\dfrac{\text{CF}}{20} \iff \text{CF}=20\sqrt{3}~\text{cm}$


Essa é a altura do trapézio $\text{ABCD}$.


Pelo Teorema de Pitágoras:


$\text{AD}^2=\text{AE}^2+\text{DE}^2 \iff \text{AD}^2=20^2+(20\sqrt{3})^2$


$\text{AD}^2=400+1200 \iff \text{AD}^2=1600 \iff \text{AD}=\sqrt{1600}$


$\text{AD}=40~\text{cm}$


Analogamente, obtemos que $\text{BC}=40~\text{cm}$


b) Logo, o perímetro e a área do trapézio $ABCD$ são:


$\text{P}=\text{AB}+\text{BC}+\text{CD}+\text{AD}=100+40+60+40=240~\text{cm}$ (perímetro)

$\text{S}=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}=\dfrac{(100+60)\cdot20\sqrt{3}}{2}=\dfrac{160\cdot20\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3200\sqrt{3}}{2}=1600\sqrt{3}~\text{cm}^2$