Question

A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de 12 cm de diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateral.

Answer 1

Como o hexágono está inscrito na circunferência de raio 6 cm, então a aresta da base mede 6 cm também.

Além disso, de acordo com o enunciado:

$Ab=\frac{Al}{10}$

A área da base é igual a 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado 6:

$Ab =\frac{3.6^2\sqrt{3}}{2}$

Ab = 54√3 cm²

A área lateral é igual a 6 vezes a área de um triângulo de base 6 e altura h':

$Al=6.\frac{6.h'}{2}$

Al = 18h'

Assim, temos que:

$54\sqrt{3}=\frac{18h'}{10}$

540√3 = 18h'

h'= 30√3 cm.

Para calcular a altura h da pirâmide podemos utilizar o Teorema de Pitágoras:

h'² = a² + h²

sendo "a" a apótema da base.

A apótema da base é justamente a apótema de um hexágono, ou seja,

$a = \frac{6\sqrt{3}}{2}$

a = 3√3 cm

Assim,

h² + (3√3)² = (30√3)²

h² + 27 = 2700

h² = 2673

h = 9√33 cm.