Question

A base de uma piramide de 8m de altura é im hexagono regilar cijo apotema mede 2√3 m. Determine o volume dessa piramide

Answer 1

V = B * H/ 3 , onde :

V → Volume da pirâmide;
B → Área da base da pirâmide;
H → Altura da pirâmide...

Sendo a base um hexágono regular, dividimos-na em 6 triângulos equiláteros iguais, e a área da base será a área de todos esses triângulos.

B = 6 * At (onde At = área de cada triângulo formado) 

At = b * h / 2
(b é a base do triângulo, que é a medida do lado do hexágono, e h é a altura do triângulo, que no caso coincide com a apótema)...

Se fizermos Pitágoras, sabemos que a altura h de um triângulo equilátero é dada por :

h = l * √3 / 2 , onde l é o lado do triângulo e neste caso é o lado do hexágono !

Mas a apótema (a) coincide com a altura (h), logo :
a = h
a = l * √3 / 2 
Sendo a =  2 * √3 m, temos :

2 * √3  = l * √3 / 2 ⇒ "Corta-se" √3 !
2 = l  / 2
2 * 2 = l
l = 4 m ⇒ Medida do lado do triângulo (que, no caso, também é o lado do hexágono)

At = b * h / 2
Sendo a = h, e sendo o o triângulo equilátero (todos os lados iguais, ou seja, l = b, pois a base também é um lado), então :
At =  l * a / 2 

Sendo ⇒ a = 2 * √3  m e l = 4 m , então :
 
At = 2 * √3 * 4 / 2
At = (4 * √3) m² ⇒ Medida da área de um triângulo equilátero dentro do hexágono !

Como dito, o hexágono regular foi dividido em 6 triângulos equiláteros iguais, de forma que sua área (B) é 6 vezes a área de cada triângulo (At) ...

B = 6 * At       ⇒ At = (4 * √3) m² !
B = 6 * 4 * √3
B = (24 * √3) m² ⇒ Área da base desse hexágono (área da base da pirâmide, no caso) !

Por fim, V = B * H / 3
Sendo B = (24 * √3) m² e H = 8 m :

V = 24 * √3 * 8 / 3
V = 8 * 8 * √3
V = (64 * √3) m³ ⇒ Volume dessa pirâmide !