Question

A base de um cone circular reto está inscrita num triângulo equilátero de área 9√3 cm³. Se as alturas do cone e do triângulo são congruentes, então o volume do cone, em cm³, é?



Obs.: Encontrei o resultado 9π√3, mas esse não se encontra nas opções.

Answer 1

Temos que a área de um triângulo equilátero é dado por L²√3/4, então
L²√3/4 = 9√3
L²√3 = 4·9√3
L²√3 = 36√3
L² = 36√3/√3
L² = 36
L = √(36)
L = 6
como a altura do triângulo equilátero é dado por L√3/2, temos
L√3/2 = 6√3/2 = 3√3
assim, sendo "h" a altura do triângulo, então h = 3√3. Como o triângulo é equilátero todos os seus pontos notáveis se coincidem, assim o baricentro coincide com o incentro, que é o centro da circunferência inscrita e como a altura do triângulo equilátero é a mediana, temos que o raio da circunferência inscrita é um terço da altura. Logo, sendo "r" o raio da circunferência inscrita, temos
r = h/3
r = 3√3/3
r = √3
Lembrando que o volume do cone é dado por um terço da área da base vezes a altura, sendo "V" o volume, terrenos
V = π·r²h/3
V = (π·(√3)²·3√3)/3
V = 3π√3
Resposta: O volume do cone é de 3π√3 cm³