Question

A barra AB de peso 200 N mostrada a seguir é homogênea e encontra-se em equilíbrio suspensa pelo ponto C. O bloco de peso M = 200 N encontra-se suspenso pelo ponto A. Sabendo que d = 5,0 m, determinar o comprimento da L da barra AB.

Answer 1

Resposta:

6,7 m.

Explicação:

Como a barra está em equilíbrio, ela não está em translação e nem em rotação.

Assim, a condição para que ela não se mova em translação e nem rotacione pelos pesos é que a resultante das forças se anule e que também a resultante dos torques (momentos) se anule.

Para aplicar estas duas condições, precisamos identificar as forças que atuam no sistema (barra).

Em primeiro lugar, temos o peso da barra que, como ela é homogênea, atua no centro de massa dessa barra que coincide com o seu centro geométrico (L/2).

Em segundo lugar, temos a tensão no fio C preso no teto.

Por fim, temos o peso M preso a uma extremidade da barra.

Agora aplicamos a resultante das forças:

$\sum \vec{F} = \vec{0}$

$T - m\cdot g - M\cdot g = 0$

sendo m a massa da barra.  Daí tiramos que a tensão vale

$T = (M + m)\cdot g$.

Agora aplicamos a segunda condição:

$\sum \vec{\tau} = \vec{0}$

Para equacionar isto, precisamos escolher arbitrariamente qualquer ponto como eixo de rotação.

Eu vou escolher o ponto A, mas o resultado seria o mesmo para qualquer outro ponto escolhido.

Então o ponto A será o eixo de rotação da barra, e todos os torques serão calculados em relação a esse ponto.

Por exemplo, o torque produzido pelo peso da barra (aplicada ao centro dela) vale $m\cdot g\cdot \frac{L}{2}$, enquanto que o torque produzido pelo bloco M é $M\cdot g\cdot L$.

Já a tensão produz um torque igual a $T\cdot d = (M + m) g d$.

Somando os torques da barra e do peso M (que tem o mesmo sentido), isto deve resultar no torque produzido pelo fio preso ao teto (em sentido contrário):

$MgL + mg\frac{L}{2} = (M + m)gd$

Isolando L vem

$\left( Mg + \frac{mg}{2} \right) L = (Mg + mg) d\\\\L = \frac{Mg + mg}{Mg + mg/2} d$

Substituindo os valores, temos:

$L = \frac{200\;\mathrm{N} + 200 \;\mathrm{N}}{200\;\mathrm{N} + 100\;\mathrm{N}} 5{,}0\;\mathrm{m}\\\\\therefore L \approx 6{,}7\;\mathrm{m}.$

Lembrando que o torque (ou momento de uma força em relação a um ponto) é o produto da força pela distância ao eixo em que esta força é aplicada.