Question

A,B e C são colineares e B esta entre A e C. A razão de AB para AC é 2: 5
Se A esta em (-6,9) e B esta em (-2,3), quais são as coordenadas do ponto C?

Answer 1

Resposta:

C= (4,-6)

Explicação passo-a-passo:

Primeira coisa que vamos fazer eh calcular a distancia de A pra B:

$AB=\sqrt{(-6-(-2))^2+(9-3)^2}=\sqrt{(-4)^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Agora podemos calcular AC usando uma simples regra de 3:

$\dfrac25=\dfrac{2\sqrt{13}}{AC}\\\\2AC=10\sqrt{13}\\\\AC=5\sqrt{13}$

Agora encontramos a equacao da reta que contem A, B e C:

$m=\dfrac{3-9}{-2-(-6)}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac32\\\\y-3=-\dfrac32(x+2)\\\\y=-\dfrac{3x}{2}$

E agora podemos substituir esse valor numa equacao de distancia pra C:

$AC=\sqrt{(x-(-6))^2+(y-9)^2}\\\\5\sqrt{13}=\sqrt{(x+6)^2+(-\dfrac{3x}{2}-9)^2}\\\\25\cdot13=(x+6)^2+(-\dfrac{3x}{2}-9)^2\\\\325=x^2+12x+36+\dfrac{9x^2}{4}+27x+81\\\\208=x^2+\dfrac{9x^2}{4}+39x\\\\832=4x^2+9x^2+156x\\\\13x^2+156x-832=0\\\\x^2+12-64=0\\\\\Delta=144+256\\\\\Delta=400\\\\x=\dfrac{-12\pm20}{2}\\\\x=4\ \land\ x=-16$

Como que B esta entre A e C entao podemos desconsiderar -16 que esta antes de A. Portanto x=4, agora por ultimmo aplicamos na equacao da reta para achar y:

$y=-\dfrac{3(4)}{2}=-6$