Question

A areia cai de uma esteira transportadora à razão de 20 m3/min, formando uma pilha cônica. O diâmetro da base do cone é aproximadamente três vezes a altura do cone. A que taxa a altura da pilha está variando quando sua altura é de 10 m? A variação aproximada é

Answer 1

Resposta:

 dh/dt = 0,03 m/min  

ou

 dh/dt = 0,14 m/min

Explicação passo-a-passo:

usa suas duas tentativas

Answer 2

Resposta:

Primeiro, vamos anotar os dados disponíveis no problema:

H = 10m

d = 2R = 3H, portanto, R = $\frac{3H}{2}$

temos também que, dV(t) = 20m³/min.

O que queremos? dH(t).

Agora, como estamos falando de uma pilha cônica e, como a areia cai e preenche todo o espaço interno, podemos usar a formula de Volume do cone.

Onde, V = $\frac{ab.H}{3}$, tendo ab = $\pi$.R² , concluímos que, V = $\frac{\pi .R^{2}.H }{3}$

como R = $\frac{3H}{2}$, podemos substituir, ficando V = $\frac{\pi .(\frac{3H}{2})^{2}.H}{3}$

logo, V = $\frac{9.\pi .H^{3} }{12}$.

Agora, derivando implicitamente ambos os lados da equação, temos:

dV(t) = $\frac{27.\pi .H^{2}.dH(t) }{12}$

Substituindo os valores:

20 = $\frac{27.\pi .(10)^{2}.dH(t) }{12}$

arrumando a equação:

dH(t) = 240/2700.$\pi$

Portanto, temos que dH(t) = $\frac{4}{45.\pi }$ m/min