Question

A área total de um tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm, vale: (Use V3=1,7) O 30,6 cm O 71,4 cm O 96,9 cm O 47,6 cm 61,2 cm2 O Esta pergunta é obrigatória​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial.

As faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, cujas medidas dos seus lados são iguais as dimensões da aresta do tetraedo.

Seja $a$ a medida da aresta deste tetraedro. A área total deste sólido será calculada pela soma das áreas dos triângulos que formam suas faces.

A área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula $A=\dfrac{b\cdot h}{2}$, onde $b=\ell$ é a medida da base, ou seja, do lado deste triângulo e $h=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$ é a altura deste triângulo, portanto, sua área em função da medida do seu lado é igual a: $A=\dfrac{{\ell}^2\cdot\sqrt{3}}{4}$.

Substituindo $a=\ell=6~\text{cm}$, calculamos a área de um triângulo:

$A_{\triangle}=\dfrac{6^2\cdot \sqrt{3}}{4}\\\\\\A_{\triangle}=\dfrac{36\cdot \sqrt{3}}{4}\\\\\\A_{\triangle}=9\sqrt{3}~\text{cm}^2$

Então, a área total do tetraedro é igual a:

$A_{\text{total}}=4\cdot A_{\triangle}\\\\\\ A_{\text{total}}=4\cdot 9\sqrt{3}\\\\\\A_{\text{total}}=36\sqrt{3}~\text{cm}^2$

Utilizando a aproximação $\sqrt{3}\approx1{,}7$, temos:

$A_{\text{total}}=61{,}2~\text{cm}^2$

Esta é a área total deste tetraedro regular.