Question

A área total de um cone reto é 96π cm² e o raio da base mede 6 cm. Determine o volume desse cone e o volume da pirâmide de base quadrada inscrita nesse cone .

Answer 1

Sabemos que:

$\mathsf{A_t=A_b+A_l}\\ \\ \mathsf{A_t=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot g}\\ \\ \mathsf{96\pi=\pi\cdot r(r+g)}\\ \\ \mathsf{96=r^2+rg}\\ \\ \mathsf{6g=96-6^2}\\ \\ \mathsf{6g=96-36}\\ \\ \mathsf{g=\frac{60}{6}}\\ \\ \boxed{\mathsf{g=10~cm}}\\ \\ \\ \mathsf{g^2=h^2+r^2}\\ \\ \mathsf{10^2=6^2+h^2}\\ \\ \mathsf{h^2=100-36}\\ \\ \mathsf{h^2=64}\\ \\ \boxed{\mathsf{h=8~cm}}$

Assim, o volume:

$\mathsf{V=\frac{A_b\cdot h}{3}}\\ \\ \mathsf{V=\frac{\pi\cdot 6^2\cdot8}{3}}\\ \\ \boxed{\mathsf{V=96\pi~cm^3}}$

Como a pirâmide está inscrita no cone, a diagonal de sua base quadrada é igual ao diâmetro da base do cone.

$\mathsf{d=D}\\ \\ \mathsf{a\sqrt{2}=2\cdot6}\\ \\ \mathsf{a=\dfrac{12}{\sqrt{2}}}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{a=6\sqrt{2}~cm}}$

Sua área da base:

$\mathsf{A_b=a^2}\\ \\ \mathsf{A_b=(2\sqrt{2})^2}\\ \\ \boxed{\mathsf{A_b=8~cm^2}}$

O volume, considerando a mesma altura do cone:

$\mathsf{V=\frac{8\cdot8}{3}}\\ \\ \boxed{\mathsf{V=\frac{64}{3}~cm^3}}$

Answer 2

cone reto
=========
formula area total( At )

At = Ab + Al

tambem que a area total e assim

At = pi x r^2 + pi x r x g

96 pi = pi x r(r + g)

vamos excluir o pi fica assim

96 = r^2 + r x g

96 = (6)^2 + 6.g

96 = 36 + 6.g

36 + 6.g = 96

6.g = 96 - 36

6.g = 60

g = 60
......-----
.........6

g = 10cm


g^2 = h^2 + r^2

(10)^2 = h2 + (6)^2

100 = h^2 + 36

h^2 + 36 = 100

h^2 = 100 - 36

h^2 = 64

h = \/64

h = 8cm

agora temos que encontrar o volume

V = Ab x h
.......-----------
.............3

V = pi x (6)^2 x 8
.......-------------------
..................3

V = pi x 36 x 8
.......-----------------
.................3

V = 288 x pi
......-------------
.............3

V = 96 pi cm^3


Piramide de base quadrada
========================
Entao como a piramide inscrito no cone.
A diagonal de su base wuadrada e igual ao diametro da bade fo cone :

d = D

a\/2 = 2(6)

a\/2 = 12

a = 12
......-----
.......\/2

a = 12 x \/2
.......-----....------
........\/2......\/2

a = 12.\/2
......----------
........\/2.\/2

a = 12.\/2
......---------
...........2

a = 6.\/2cm

A area da base
==============
Ab = a^2

Ab = (2\/2)^2

Ab = 4 x 2

Ab = 8cm^2

agora o volume vamos considerar a mesma altura do cone :

V = L^2
.......------
..........3

V = (8)^2
......--------
..........3

V = 8 x 8
......---------
...........3

V = 64
......------
........3

V = 21,33cm^3