Question

A area total da superficie de um paralelepipedo reto-retangulo é igual a área total da superficie de um cubo. se as medidas de tres arestas e concorrem em um mesmo vértice do paralelepipedo são 3, 5 e 7 respectivamente quanto mede a diagonal do cubo?

Answer 1

Primeiro vamos ter q calcular a área total superficial do paralelepípedo. Nele, cada par de face paralelas é congruente.

Ex: 1 par de faces(largura x comprimento), 1 par de faces (largura x altura) e 1 par de faces (comprimento x altura)

Vou chamar a largura de 3, comprimento de 5 e altura de 7.

Para calcular a área, precisamos somar a área de cada uma das faces.

S face (larg x compr) = 3.5 = 15

Como existem 2 (1par): 2.15 = 30


S face (larg x alt) = 3.7 = 21

Como existem 2: 2.21 = 42

S face (compr x alt) = 5.7 = 35

Como existem 2: 2.35 = 70

Somando todas:

S paralelepípedo = 30+42+70 = 142


No cubo, todas as faces tem mesma área. Sabendo disso, concluímos q se a área superficial do cubo é igual a do paralelepípedo, então S cubo = 142. Logo:

S (uma face do cubo) = 142/6 

A face de um cubo é um quadrado. A área de um quadrado é a², pois as arestas são iguais: Logo:

a² = 142/6
a = √(142/6) = √71/3 = √71/√3

A diagonal de um cubo vale a√3 (aresta x √3). Usando isso, matamos o problema:

a = √71/√3

Diagonal do cubo = a.√3 = (√71/√3).√3 = (√71.√3)/√3 = √71