Question

A área (S) de um círculo é determinada pela expressão S = πr2, em que r é a medida do raio. Determine a soma das áreas das regiões delimitadas pelas semicircunferências da figura a seguir.

Answer 1

Por meio dos cálculos desenvolvidos, chegamos a conclusão que as áreas de cada uma das semicircunferências é:

$\boxed{\:S= \frac{225\pi}{2} \: cm {}^{2}} \boxed{ \:S= \frac{625\pi}{2} \: cm {}^{2}}\boxed{S= \frac{{200\pi}}{1} \: cm {}^{2}}$

Explicação

Para encontrarmos as áreas de cada uma dessas semicircunferências, vamos ter que descobrir basicamente o diâmetro de cada uma delas. Se você observar, o diâmetro de todas está atrelado a uma medida deste triângulo que se encontra no meio. Portanto será necessário encontrarmos primeiro as medidas deste triângulo.

• Relações métricas no triângulo retângulo:

Para encontrar as medidas necessárias do triângulo retângulo amarelo, podemos utilizar as relações métricas, sendo elas:

$\begin{cases} I) \: h {}^{2} = m \: . \: n \\II) \: b {}^{2} = a \: . \: n \\I I I) \: c {}^{2} = a \: . \: m \\ \end{cases} \: \: \: \begin{cases}IV) \: a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ V) \: a = m + n \\ VI) \: a \: . \: h = b \: . \: c \end{cases}$

• Onde: (a) representa a hipotenusa, (b) o maior cateto, (c) o menor cateto, (m) a projeção do maior cateto sobre a hipotenusa e (n) a projeção do menor cateto sobre a hipotenusa.

Analisando a figura, é possível ver que dois dados são fornecidos, sendo eles a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa, que mede 32cm e altura AH medindo 24cm. A relação métrica que faz uma relação entre esses dois elementos é a relação I) citada acima. Portanto:

$( \overline{AH})^2 = \overline{BH} \: . \: \overline{CH} \: \: \to \: 24 {}^{2} = 32 \: . \: \overline{CH} \\ \\ 576 = 32 \: . \: \overline{CH} \: \: \to \: \: \overline{CH} = \frac{576}{32} \: \to \: \boxed{\overline{CH} = 18cm}$

A soma das projeções dos catetos é igual a hipotenusa, de acordo com a relação V). Como sabemos o valor das duas projeções, podemos somá-las encontrar a hipotenusa.

$\overline{BC} = \overline{BH} + \overline{CH} \: \: \to \: \: \overline{BC} = 32 + 18 \\ \\ \boxed{\overline{BC} = 50cm}$

A multiplicação da medida da hipotenusa pela projeção gera o quadrado do cateto referente a projeção usada. Como por exemplo, se a projeção é em relação ao maior cateto, o produto desta pela hipotenusa gerará o quadrado da medida do maior cateto, como pode ser observado pelas relações II) e III). Logo:

$\bullet \begin{cases}(\overline{AC} ) {}^{2} = \overline{CH } \: . \: \overline{BC} \: \to \: (\overline{AC} ) {}^{2} = 18 \: . \: 50 \\ \\ (\overline{AC} ) {}^{2} = 900 \: \: \to \: \: \overline{AC} = \sqrt{900} \: \: \to \: \: \overline{AC} = 30cm \end{cases} \: \: \: \: \\ \\ \bullet \begin{cases}(\overline{AB} ) {}^{2} = \overline{BH } \: . \: \overline{BC} \: \to \: (\overline{AB} ) {}^{2} = 32 \: . \: 50 \\ \\ (\overline{AB} ) {}^{2} = 1600 \: \: \to \: \: \overline{AC} = \sqrt{1600} \: \: \to \: \: \overline{AB } = 40cm \end{cases}$

Agora que encontramos todos as dimensões do triângulo, vamos escrevê-las na figura e observar quais as medidas dos diâmetro das semicircunferências. (O desenho com as medidas está anexado na resposta).

• Semicircunferências:

Como são três semicircunferências, vamos nomeá-ls de x, y e z. Pela figura, podemos ver que o diâmetro de (x) é igual a medida do maior cateto do triângulo, que é $\overline{AB}=40cm$, o diâmetro de (y) compreende a hipotenusa do triângulo, que mede $\overline{BC} = 50cm$ e por fim tem-se (z) possuindo o diâmetro igual a medida do menor cateto, igual a $\overline{AC}=30cm$

• Área e Diâmetro:

Se a área de um círculo é $S=\pi \:.\:r^2$, metade dele será $\frac{1}{2}$da área total, portanto $S=\frac{\pi \:.\:r^2}{2}$. Outra coisa que deve ser mencionada é que o raio (r) é duas vezes o diâmetro: $D = 2\:.\:r$

Tendo feito estas recapitulações, vamos calcular cada uma das áreas.

$x : \begin{cases} S= \frac{\pi \:.\:r^2}{2} \: \to \: S= \frac{\pi \: . \: \left( \frac{ \overline{AB}}{2} \right)^{2} }{2} \\ \\S= \frac{\pi \: . \: \left(\frac{ 40}{2} \right)^{2} }{2} \: \: \to \: \: \boxed{S= {200\pi} \: cm {}^{2}} \end{cases} \: \: \: \: \: \: \\ \\ y : \begin{cases} S= \frac{\pi \:.\:r^2}{2} \: \to \: S= \frac{\pi \: . \: \left( \frac{ \overline{BC}}{2} \right)^{2} }{2} \\ \\S= \frac{\pi \: . \: \left(\frac{ 50}{2} \right)^{2} }{2} \: \: \to \: \boxed{ \:S= \frac{625\pi}{2} \: cm {}^{2}} \end{cases} \: \: \: \: \\ \\ z : \begin{cases} S= \frac{\pi \:.\:r^2}{2} \: \to \: S= \frac{\pi \: . \: \left( \frac{ \overline{{AC} }}{2} \right)^{2} }{2} \\ \\S= \frac{\pi \: . \: \left(\frac{ 30}{2} \right)^{2} }{2} \: \: \to \: \boxed{\:S= \frac{225\pi}{2} \: cm {}^{2}} \end{cases} \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado.

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