Question

A área lateral de um cone é 36π cm2 e o raio de sua base é 4cm. qual é o volume do cone?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial.

Primeiro, lembre-se que os elementos de um cone são o raio da base $(r)$, a altura $(h)$, projeção ortogonal do vértice no plano que contém a base e a geratriz $(g)$, que une todos os pontos da circunferência da base ao vértice.

Em um cone circular reto, pelo Teorema de Pitágoras, vale que $h^2+r^2=g^2$, sua área lateral pode ser calculada pela fórmula: $A_{\text{lateral}} = \pi\cdot r\cdot g$ e seu volume pode ser calculado pela fórmula: $V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$.

Igualando a medida da área lateral do cone e o raio da base, calculamos a geratriz do cone:

$\pi\cdot 4\cdot g=36\pi\\\\\\ 4\pi\cdot g=36\pi$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $4\pi$

$g=9~\text{cm}$

Então, substituindo as medidas do raio e da geratriz na relação pitagórica, temos:

$h^2+4^2=9^2\\\\\\ h^2+16=81\\\\\\ h^2=65,~h>0\\\\\\ h=\sqrt{65}$

Por fim, substituímos estes dados na fórmula do volume do cone:

$V=\dfrac{\pi\cdot 4^2\cdot\sqrt{65}}{3}\\\\\\ \boxed{V=\dfrac{16\pi\sqrt{65}}{3}~\text{cm}^3}~~\checkmark$

Este é o volume deste cone.