Question

A área lateral, área total e o volume da pirâmide regular abaixo, são, respectivamente:

a)192√6 cm², 96√3 (1+2√2) cm² e 384√7 cm³.
b)96√3 (1+2√2) cm², 384√7 cm³ e 192√6 cm².
c)96√3 (1+2√2)cm², 192√6 cm² e 384√7 c​​​​m³.
d)192√6 cm², 384√7 cm³ e 96√3 (1+2√2) cm².

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial e plana.

Devemos calcular a área lateral, total e o volume da pirâmide regular da figura, cuja aresta da base mede $8~cm$ e a aresta da pirâmide mede $20~cm$.

Primeiro, calculemos a área lateral desta pirâmide. Observe que esta é uma pirâmide hexagonal regular, logo as faces laterais são triângulos isósceles.

A área lateral será calculada pela soma das áreas dos triângulos isósceles: $A_{lateral}=6\cdot A_{\triangle}$

Antes, calculamos a altura da face triangular ou apótema da pirâmide, utilizando o Teorema de Pitágoras:

$\left(\dfrac{8}{2}\right)^2+{h_{face}}^2=20^2\\\\\\ 4^2+{h_{face}}^2=20^2\\\\\\ 16+{h_{face}}^2=400\\\\\\ {h_{face}}^2=384\\\\\\ h_{face}=\sqrt{384}~cm\\\\\\ h_{face}=8\sqrt{6}~cm$

Então, utilizando a fórmula $A_{triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}$, temos:

$A_{lateral}=6\cdot\dfrac{8\cdot8\sqrt{6}}{2}$

Multiplique os valores

$A_{lateral}=192\sqrt{6}~cm^2$

A área total será dada pela soma $A_{lateral}+A_{base}$

A área da base é calculada ao dividirmos o hexágono regular em seis triângulos equiláteros.

O lado destes triângulos é igual ao lado do hexágono e sua altura é igual ao apótema, que mede $\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$. Assim, temos:

$A_{base}=6\cdot\dfrac{8\cdot\dfrac{8\sqrt{3}}{2}}{2}$

Multiplique os valores

$A_{base}=96\sqrt{3}~cm^2$

Logo, a área total é igual a $192\sqrt{6}+96\sqrt{3}~cm^2$.

O volume da pirâmide é calculado pela fórmula: $V=\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}$.

Precisamos ainda calcular a altura da pirâmide, utilizando novamente o Teorema de Pitágoras, com o apótema da base e apótema da pirâmide.

${h_{p}}^2+a^2= A^2\\\\\\ {h_{p}}^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{2}\right)^2=18^2\\\\\\ {h_{p}}^2+48=384\\\\\\ {h_{p}}^2=336\\\\\\ h_p=\sqrt{336}\\\\\\ h_p=4\sqrt{21}$

Logo, teremos:

$V=\dfrac{96\sqrt{3}\cdot4\sqrt{21}}{3}\\\\\\ V=384\sqrt{7}~cm^3$

Este eram os resultados que buscávamos e é a resposta contida na letra a).