Question

a area entre o grafico de uma função y=f(x) e o eixo dos x é dado pela integral A= integral (b,a) f (x) dx. Então a área sombreada da figura é igual a:
a) 16/3
b)6/5
c)4/3
d)16

Answer 1

$\int\limits^2_0 {4-x^2} \, dx = |4x- \frac{x^3}{3}|$

a area sera dada por F(2) - F(0)
calculando  
$F(0)=4*0- \frac{0^3}{3} =0\\\\F(2) =4*2 - \frac{2^3}{3} = \frac{16}{3} \\\\\ \boxed{area = F(2)-F(0) = \frac{16}{3}-0 = \frac{16}{3} }$

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$V= \pi \int\limits^a_b {f[(x)]^2} \, dx \\\\\\V= \pi \int\limits^2_1 {( \sqrt{x-1})^2 } \, dx = \boxed{\pi \int\limits^2_1 {x-1 } \, dx}$

integrando ficamos com
$F(x) = \frac{x^2}{2}- x$

agora calculando para o intervalo 
F(2) - F(1)
$F(2) = \frac{2^2}{2}- 2= 0\\\\F(1) = \frac{1^2}{2}- 1= \frac{-1}{2} \\\\ F(2)-F(1)= 0 - (\frac{-1}{2}) = \frac{1}{2}$

multiplicando por pi temos o volume
$V= \frac{\pi}{2}$