Question

A área entre as retas y=0, x=1/e , x=1 e a curva y(x) = ln(x) é:
Escolha uma:
a. 0,59 u.a.
b. 0,37 u.a.
c. 0,15 u.a.
d. 0,26 u.a.
e. 0,48 u.a. = INCORRETA

Answer 1

Olá

Alternativa correta, letra D)  0,26 u.a.

$\displaystyle \int\limits^1_{ \frac{1}{e} } {ln(x)} \, dx \\ \\ \\\text{ln(x) e uma integral de tabela} \\ \\ =\left.\left(\dfrac{}{}xln(x)-x\,\mathrm{\,}\right)\right|_{ \frac{1}{e} }^{1} \\ \\ \\ =\left.\left((1)\cdot ln(1)-(1))\,\mathrm{\,}\right)-\left.\left(\dfrac{1}{ e }\,\cdot ln \left.\left(\dfrac{1}{e}\,\mathrm{\,}\right) - \frac{1}{e} \mathrm{\,}\right)$

ln(1) = 0

$\displaystyle =(0-1) - \left.\left( \frac{ln( \frac{1}{e} )}{e} -1\,\mathrm{\,}\right)$

Tira o MMC

$\displaystyle =(-1) - \left.\left( \frac{ln( \frac{1}{e} )-1}{e} \,\mathrm{\,}\right)$


Pelas propriedades do logaritmo natural, temos que
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Aplicando essa propriedade

$\displaystyle =(-1) - \left.\left( \frac{ln( 1 )-ln(e)-1}{e} \,\mathrm{\,}\right)$

Como ja vimos ln(1) = 0

$\displaystyle =(-1) - \left.\left( \frac{-ln(e)-1}{e} \,\mathrm{\,}\right)$

ln(e) = 1

$\displaystyle =(-1) - \left.\left( \frac{-1-1}{e} \,\mathrm{\,}\right)$

$\displaystyle =(-1) - \left.\left( \frac{-2}{e} \,\mathrm{\,}\right)$

$\displaystyle = -1+ \frac{2}{e} \\ \\ =-1+0,7357 \\ \\ \boxed{ =-0,26}$


O sinal negativo indica que a área do gráfico está abaixo do eixo X, e como estamos nos referindo a área (tamanho), não faz sentido dizer que a área mede -0,26.