Question

A área entre as curvas y=√x e y=x² é: Escolha uma: a. $1/3u.a.$ b. $-1/3u.a.$ c. $2/3u.a.$ d. $-2/3u.a.$ e. $0 u.a.$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\dfrac{1}{3}~u.~a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a área entre duas curvas, utilizaremos integrais.

Dadas duas funções $y=\sqrt{x}$ e $y=x^2$. Primeiro, esboçamos os gráficos das funções: veja a imagem em anexo.

Então, analisamos os comportamentos destas funções. Para integrá-las, devemos encontrar seus pontos de intersecção, que serão o intervalo de integração.

Para isso, igualamos as funções:

$\sqrt{x}=x^2$

Eleve ambos os lados ao quadrado

$x=x^4$

Então, subtraia $x$ em ambos os lados da equação, a fim de igualá-la a zero.

$x^4-x=0$

Fatorando esta expressão, obtemos:

$x\cdot(x^3-1)=0$

Lembre-se que o produto de dois fatores é igual a zero quando ao menos um de seus fatores é igual a zero. Logo, teremos:

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^3-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da segunda equação

$x^3=1$

Retire a raiz cúbica em ambos os lados

$x=1$

Existem ainda duas outras raízes complexas conjugadas para esta equação, mas como estamos integrando em $\mathbb{R}$, assumimos somente estas duas soluções.

Então, nosso intervalo de integração é $[0,~1]$. Para encontrarmos a integral que resultará na área, lembre-se que a área entre duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas no intervalo $[a,~b]$ tal que $f(x)\geq g(x)$ em todo o intervalo, é dada por: $\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Observe que neste intervalo, $\sqrt{x}>x^2$, logo teremos a integral:

$\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{x}-x^2\,dx}}}$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é dada pela soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A raiz quadrada pode ser reescrita na forma de potência de expoente fracionário: $\Large\bold{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}}$.
• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema fundamental do cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Aplicando a regra da soma, teremos:

$\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{x}\,dx-{\int_0^1 x^2\,dx}}}$

Aplicando a regra da potência, teremos:

$\displaystyle{\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}~\biggr|_0^1-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1}}$

Some os valores

$\displaystyle{\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}~\biggr|_0^1-\dfrac{x^{3}}{3}~\biggr|_0^1}}$

Simplifique a fração de frações

$\displaystyle{\dfrac{2\cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_0^1-\dfrac{x^{3}}{3}~\biggr|_0^1}}$

Aplique os limites de integração de acordo com o Teorema fundamental do cálculo

$\displaystyle{\dfrac{2\cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{2\cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}$

Calcule as potências

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}$

Some as frações

$\dfrac{2-1}{3}\\\\\\\\ \dfrac{1}{3}~u.~a$

Esta é a área entre estas curvas e é a resposta contida na letra a).