Question

A área entre as curvas y=$\sqrt{x}$e y=x^2 é:

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf y = \sqrt{x} \: \: \: \: e \: \: \: \: y = x {}^{2}$

Para encontrar a área entre essas duas curvas, devemos primeiro encontrar os limites de integração, ou seja, as intersecções dessas funções, para isso basta igualar as duas e resolver como uma equação normal.

normal.

$\sf \sqrt{x} = x {}^{2} \Longleftrightarrow ( \sqrt{x} ) {}^{2} = (x {}^{2} ) {}^{2} \Longrightarrow \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf x = x {}^{4} \Longleftrightarrow x {}^{4} - x = 0 \Longrightarrow \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \\ \sf x.(x {}^{3} - 1) = 0 \Longleftrightarrow x.(x - 1).(x {}^{2} + x + 1) = 0 \Longrightarrow \\ \\ \sf \begin{cases} \sf x_1 = 0 \\ \sf x_2 \longrightarrow ( x - 1) = 0 \longrightarrow x = 1 \\ \sf x_3 \longrightarrow - \frac{1 - i \sqrt{3} }{2} \\ \sf x_4 \longrightarrow - \frac{1 + i \sqrt{3} }{2} \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Não vamos usar os valores que não fazem parte do conjuntos dos reais, então ficaremos apenas com os valores de x = 1 e x = 0, vamos descobrir o valor recíproco substituindo os mesmos em uma das funções:

$\text {para \: x = 0}\\ \sf y = \sqrt{x} \Longrightarrow y = \sqrt{0} \Longrightarrow y = 0 \: \Longrightarrow P_1(0,0) \\ \text{para \: x = 1} \\ \sf y = \sqrt{x} \Longrightarrow y = \sqrt{1} \Longrightarrow y = 1\Longrightarrow P_1(1,1)$

Partindo de que a integral de uma área é dada pela seguinte expressão genérica:

$\sf \int \limits_ {a}^{b}[f(x) - g(x)]{} dx$

Sendo a f(x) a função que se encontra acima e g(x) a função que se encontra abaixo, e os termos "a" e "b" são os intervalo de integração, ou seja, de onde até onde essa área vai no eixo "x" no nosso caso. Já sabemos as funções e os intervalo de integração, se você observar pelo gráfico, a função que está acima é a y = √x, logo por consequência a que está abaixo é y = x², o intervalo é de [0,1], substituindo na integral:

$\sf \int \limits_ {0}^{1}(\sqrt{x} -x {}^{2} ){} dx$

Vamos transformar aquela raiz em uma potência através da seguinte propriedade:

$\boxed{ \boxed{\sf a {}^{ \frac{n}{m} } = \sqrt[m]{a {}^{n} } }}$

Aplicando:

$\sf \int\limits_{0}^{1}(x {}^{ \frac{1}{2} } - x {}^{2} )dx$

Agora vamos aplicar a propriedade de potência para as integrais, dada por:

$\boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando:

$\sf \frac{x {}^{ \frac{1}{2} + 1 } }{ \frac{1}{2} + 1} - \frac{x {}^{2 + 1} }{1 + 1} \bigg | _{0}^{1} \Longrightarrow \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg | _{0}^{1} \\ \\ \sf\frac{2 \sqrt{x {}^{3} } }{3} - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg | _{0}^{1}\Longrightarrow \frac{2 \sqrt{x {}^{3}} - x {}^{3} }{3} \bigg | _{0}^{1}$

Para finalizar, devemos lembrar do Teorema fundamental do cálculo, que nos diz:

$\sf \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$

Aplicando o tal teorema:

$\sf \frac{2 \sqrt{1 {}^{3} } - 1 {}^{3} }{3} - \frac{2 \sqrt{0 {}^{3} } - 0 {}^{3} }{3} \Longrightarrow \frac{2 - 1}{3} \Longrightarrow \boxed{\boxed{\sf\frac{1}{3} u.a}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

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$\bf pontos~de~intersecc_{\!\!,}\tilde{a}o:\\\sf x^2=\sqrt{x}\\\sf(x^2)^2=(\sqrt{x})^2\\\sf x^4=x\\\sf x^4-x=0\\\sf x(x^3-1)=0\\\sf x=0\\\sf x^3-1=0\implies x^3=1\\\sf x=\sqrt[3]{1}\\\sf x=1\\\sf y=x^2\Bigg|_{x=0}=0~~ y=x^2\Bigg|_{x=1}=1\\\sf A(0,0)~~B(1,1)$

$\tt A~\acute{a}rea~\acute{e}~dada~por\\\displaystyle\sf A=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^2)~dx=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}x^3\Bigg|_{0}^{1}\\\sf A=\dfrac{2}{3}\cdot1^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}\cdot1^3\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf A=\dfrac{1}{3}~u\!\!\cdot\!\! a}}}}}$