Question

A área do triangulo de vertices A(0 , 1) B(7 , -2) e C(4 , 3) e igual a:

A) 26
B) -26
C) 5
D) 13
E) 10

Answer 1

Para encontrar a área de um triângulo a partir dos seus vértices, é necessário montarmos uma matriz quadrada de ordem 3 com os vertices desse triângulo. Essa matriz terá essa estrutura:

$m = \begin{bmatrix}x_a &y_a& 1 \\ x_b&y_b&1 \\ x_c &y _c&1\end{bmatrix}$

A última coluna deve ser completada de 1, para que seja possível calcular o determinante. Vamos organizar os dados que temos e depois substituir todos na matriz citada acima.

$\begin{cases}A(0 , 1) \to x_a=0 \: \: e \: \: y_a=1\\B(7 , -2)\to x_b = 7 \: \: e \: \: y_b=-2 \\C(4 , 3) \to x_c=4 \: \: e \: \: y_c = 3\end{cases}$

Substituindo os dados na relação:

$m = \begin{bmatrix}0 &1& 1 \\ 7& - 2&1 \\ 4 &3&1\end{bmatrix}$

Agora é só calcular o determinante através da regra que for mais conveniente para você, no meu caso usarei o método de Sarrus:

$m = \begin{bmatrix}0 &1& 1 \\ 7& - 2&1 \\ 4 &3&1\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}0 &1 \\ 7& - 2 \\ 4 &3\end{bmatrix} \\ \\ Det(m) = 0.( - 2).1 + 1.1.4 + 1.7.3 - (4. ( - 2).1 + 3.1.0 + 1.7.1) \\ Det(m) = 0 + 4 + 21 - ( - 8 + 0 + 7) \\ Det(m) = 25 + 1 \\ \boxed{ Det(m) \ = 26}$

Para finalizar basta substituir os dados na relação da área de um triângulo a partir dos vertices:

$A = \frac{1}{2} . | Det| \longrightarrow A = \frac{1}{2} . |26| \longrightarrow \boxed {A =13 \: u.a}$

Espero ter ajudado