Question

A área do triângulo ABC cujos vértices são A(2, 1), B(4, 6) e C(6, 2) é igual a:

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

A área de um triângulo cujos vértices são os pontos de coordenadas $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$ é calculada pela fórmula: $\boxed{\bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{Vmatrix}}$.

Então, seja o triângulo $\triangle{ABC}$ cujos vértices são os pontos de coordenadas $A(2,~1),~B(4,~6)$ e $C(6,~2)$. Sua área será calculada pelo determinante:

$\bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}2&1&1\\4&6&1\\6&2&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcular este determinante, utilize a Regra de Sarrus. Em matrizes de ordem $3$, replicam-se as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcula-se a diferença da soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}2&1&1\\4&6&1\\6&2&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\4&6\\6&2\\\end{matrix}\right|$

Calcule o determinante

$\bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot|2\cdot6\cdot1+1\cdot1\cdot6+1\cdot4\cdot2-(1\cdot4\cdot1+2\cdot1\cdot2+1\cdot6\cdot6)|$

Multiplique os valores

$\bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot|12+6+8-(4+4+36)|\\\\\\ \bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot|26-44|\\\\\\ \bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot|-18|$

Calcule o módulo do número negativo

$\bold{A}=\dfrac{1}{2}\cdot18$

Multiplique os números e simplifique a fração

$\bold{A}=\dfrac{18}{2}\\\\\\ \bold{A}=9~u.a$

Esta é a área deste triângulo.