Question

A área do paralelogramo formado pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(2,0,-2) é:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vide explicação

Resposta:

A área do paralelogramo formado por dois vetores no V³ pode ser obtida pela norma do produto vetorial entre os dois vetores, denotado por:

$||\vec{u}\wedge\vec{v}||$

Irei fazer o produto desevolvendo a matriz:

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right]$

Lembrando que estou supondo uma base ortonormal! formada pelos vetores i, j e k.

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&2&1\\2&0&-2\end{array}\right]$

Desenvolvendo a matriz temos:

$\vec{u}\wedge \vec{v} = \vec{i}\begin{bmatrix}2 & 1 \\0 & -2\end{bmatrix} -\vec{j}\begin{bmatrix}-1 & 1 \\2 & -2\end{bmatrix}+\vec{k}\begin{bmatrix}-1 & 2 \\2 & 0\end{bmatrix}$

Resolvendo os determinantes temos:

$\vec{u}\wedge \vec{v} = -4\vec{i} -4\vec{k}$

Vou chamar esse novo vetor de w, sabemos que:

$\vec{w} \perp \vec{v},\; \vec{w}\perp \vec{u}$

Apenas para lembrar mesmo, não é significante para resolução, com isso temos que a área é a norma de w:

$||\vec{u}+\vec{v}|| = ||\vec{w}||$

$||\vec{w}|| = \sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-4\right)^2} \Rightarrow \sqrt{2\cdot 16} \\\\||\vec{w}|| = \sqrt{32} \\\\||\vec{w}|| = 4\sqrt{2}$

Essa é a área do paralelogramo.

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Obs:

Eu utilizo a simbologia de ^ para produtos vetoriais, também pode ser usado x, da seguinte forma:

$\text{Produto vetorial entre um vetor u e um vetor v:}\\\\\vec{u} \wedge \vec{u}\\\vec{u} \times \vec{u}$