"A área de um segmento parabólico sombreado, ilustrado na figura a seguir, pode ser calculada por meio da equação: onde V é o vértice da parábola, e AB e PV são as medidas indicadas na figura abaixo. Seja k um número real positivo, a parábola de equação determina, com o eixo x do plano cartesiano, um segmento parabólico de área igual a 486 unidades de área. Nessas condições, determine o valor de k."
Soluções para a tarefa
Resposta:
A.B=k
Explicação passo a passo:
O valor de k é 9.
Essa questão é sobre equações do segundo grau. As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Para encontrar as raízes dessas equações, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara, dada por:
x = [-b ±√Δ]/2a
Δ = b² - 4ac
Da equação dada, temos que f(x) = -x²/2 + kx, ou seja, a = -1/2, b = k e c = 0. Pela fórmula de Bhaskara:
Δ = k² - 4·(-1/2)·0
Δ = k²
x = [-k ± k]/2·(-1/2)
x = -(-k ± k])
x' = 0
x'' = 2k
A área do segmento parabólico é calculada por:
A = (2/3)·AB·PV
Sabemos que AB é a distância entre as raízes, logo, AB = 2k.
Calculando PV como a coordenada y do vértice:
PV = -Δ/4a
PV = -k²/4·(-1/2)
PV = k²/2
Se a área deve ser igual a 486 unidades:
486 = (2/3)·2k·k²/2
486 = (2/3)·k³
k³ = 729
k = 9
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