Question

A área de um retângulo pode ser indicada pela expressão 25x2 - 16. Sabendo que um dos lados do retângulo mede 5x – 4 e que o seu perímetro é igual a 80 unidades de comprimento, determine a medida da área dessa figura.​

Answer 1

Resposta:

384 unidades

Explicação passo a passo:

Como sabemos, a área $A$ de um retângulo é dada pela seguinte fórmula:

$A=b \cdot h \hspace{2cm} (1)$.                              

Ou seja, a área de um retângulo é igual ao produto da medida de sua base ($b$) pela sua altura ($h$).

A questão nos informa que a área $A$ do retângulo pode ser dada pela expressão $25x^2-16$. Desse modo, podemos escrever que

$25x^2-16=b\cdot h\hspace{2cm} (2)$.                                    

Além disso, um de seus lados mede $5x-4$. Digamos que essa seja a medida de sua base, isto é, $b=5x-4$. Substituindo esse valor na equação (2), temos

$25x^2-16=(5x-4)\cdot h \hspace{5cm} (3)$          

Agora precisamos encontrar o valor de $h$. Para isso, vamos utilizar a informação de que o perímetro do retângulo é igual a 80 unidades.

O perímetro de um retângulo é dado pela soma de seus quatro lados. Então,

$2b+2h=80 \hspace{5cm} (4)$

Como $b=5x-4$, segue que

$2(5x-4)+2h=80\Rightarrow 10x-8+2h=80\Rightarrow \boxed{h=44-5x}$

Substituindo o valor de h na equação 3, segue-se que

$25x^2-16=(5x-4)\cdot(44-5x)$.

Simplificando essa equação, chegamos a

$\boxed{5x^2-24x+16=0}$

Aplicando a fórmula resolutiva de equações do segundo grau, mais conhecida como fórmula de Bháskara, encontramos as seguintes raízes:

$x=4\hspace{1cm} \textrm{ou}\hspace{1cm} x = \frac{4}{5}$

Para x = 4/5:

$A = 25\cdot (\frac{4}{5})^2-16 = 25\cdot \frac{16}{25} - 16=16-16 =0.$

Para x = 4:

$A = 25\cdot 4^2-16=25*16-16 = 400-16 = 384$.

Claramente a área do retângulo não pode ser igual a zero. Logo, o valor da sua área é igual a 384 unidades.