A área de um retângulo é dada por A(x) = -0,8x2 + 8x, onde x é a base do retângulo. Determine as dimensões do retângulo de área máxima
Soluções para a tarefa
Resposta:
Amax = 20
Explicação passo-a-passo:
A(x) = -0,8x2 + 8x
Sabemos que toda funcao do segundo grau (x2), é uma parabola.
vejamos a constante que multiplica x2. a = -0,8
se a > 0, a parabola tem concavidade para cima (parece um U)
se a < 0 , a parabola tem concavidade para baixo (parece um ∩)
concorda comigo que se a funcao tem a > 0, por tanto tem concavidade para cima (U), a funcao la no x = -∞ tem um valor, e vai diminuindo, diminuindo... até que chega num x tal que o valor de y é minimo. depois, conforme se aumenta o x, a funcao passa a aumentar para sempre?
agora quando a < 0, ou seja, tem concavidade para baixo (∩) conforme se aumenta o x, o valor da funcao aumenta até chegar num valor de x em que a y é max, e um valor imediatamente acima desse x, o y passa a diminuir
QUando a < 0, esse ponto em que a funcao para de crescer e passa a diminuir, é o ponto de inflexao da curva, conhecido como o valor maximo da funcao
Quando a > 0, esse ponto é conhecido como minimo da funcao.
Ok. isso tudo para dizer que precisamos saber qual é o valor de x para que A(x) seja maximo...
tem um jeito muito simples, que é por meio de derivada, e, usando esse método, chegamos ao valor xmax = 5, mas creio que vc nao sabe usar derivadas... entao vamos ao metodo braçal
Uma das caracteristicas das parabolas é elas serem SIMETRICAS. ou seja, há um valor para x tal que f(x+∆x) = f(x-∆x). e adivinha que x é esse? o xmax (quando a<0)...
entao basta calcular f(x') = y e na sequencia descobrir um x" que tal que f(x")= y. O xmax será o ponto medio entre x' e x'' ou seja: xmax = (x'+x")/2
entao vou arbitrar x' = 0
A(0) = -0,8 (0)² + 8 (0) = 0
entao, preciso achar um x" tal que A(x") = 0
-0,8 x"² + 8x"=0
x" (-0,8x" + 8) = 0
0,8x = 8
x" = 10
xmax = 0 + 10 /2
xmax = 5.
por tanto, Amax = A(5) = -0,8 (5)² + 8 (5)
Amax = - 20 + 40
Amax = 20