Question

A área da região sombreada em vermelho na figura delimitada pelo gráfico da função y = f (x) = x² - 36x + 324 e o eixo x , considerando o intervalo definido por x = 4 e pelo valor mínimo da função f (x) é ?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{2744}{3}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área da região delimitada pelo gráfico da função e o eixo $x$, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Para o cálculo da área de regiões delimitadas por duas curvas, utiliza-se integrais duplas. Porém, se uma destas curvas for um dos eixos coordenados, pode-se reduzir a um caso de integral simples, em que se calcula a área sob uma curva.

Seja uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ contínua no intervalo fechado $[a,~b]$. A área entre esta função e o eixo das abscissas é calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx$.

Então, temos a função $f(x)=x^2-36x+324$ e buscamos a área delimitada pelo gráfico desta função e o eixo $x$, no intervalo definido por $x=4$ e pelo valor mínimo de $f(x)$.

Lembre-se que dada uma função quadrática da forma $f(x)=ax^2+bx+c$, em que $a\neq0$, seu vértice determina seu ponto máximo ou mínimo. Quando $a>0$, tem-se o ponto mínimo, cuja coordenada no eixo das abscissas é dado por: $-\dfrac{b}{2a}$.

Neste caso, temos $a=1$ e $b=-36$. Substituindo estes elementos na fórmula, teremos:

$x_{m\'in}}=-\dfrac{-36}{2\cdot1}\\\\\\ x_{m\'in}}=18$

Dessa forma, nosso intervalo de integração será $4\leq x\leq 18$. A área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_4^{18} x^2-36x+324\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral das funções.
• A integral de uma potência é dada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$\dfrac{x^3}{3}-36\cdot\dfrac{x^2}{2}+324\cdot x~\biggr|_4^{18}$

Multiplique os valores e aplique os limites de integração

$\dfrac{18^3}{3}-18\cdot 18^2+324\cdot 18-\left(\dfrac{4^3}{3}-18\cdot 4^2+324\cdot 4\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{5832}{3}-5832+5832-\left(\dfrac{64}{3}-288+1296\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{5832}{3}-5832+5832-\dfrac{64}{3}+288-1296$

Some as frações

$\dfrac{2744}{3}$

Esta é a área entre o gráfico desta função e o eixo das abscissas.