Question

A área da cardioide dada equação polar r=2+2cosθvale:

Answer 1

Temos a seguinte equação da cardioide:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf r = 2 + 2cos( \theta)$

Esta equação está disposta em coordenadas polares, pois em coordenadas cartesianas seria:

$\: \: \bullet \: \: \: \sf \sqrt{x {}^{2} + y } = 2 + \frac{2x}{ \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } }$

Note que se fossemos utilizar esta expressão para o nosso cálculo, seria bem complicado de realizar o mesmo, portanto vamos manter do jeito que está em coordenadas polares.

Para o nosso cálculo, vamos nos utilizar da integral dupla em coordenadas polares.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf A = \sf \int \int_{C}f(x,y)dA }$

De todos os dados, o único que nos falta são as variações, isto é, os limites de integração.

• Variação de r:

A variação de "r" é basicamente dada pelo vetor da origem até a função da cardioide, então:

$\: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: \sf 0 \leqslant r \leqslant 2 + 2cos( \theta)$

• Variação do ângulo:

Dado que a cardioide se estende por todo o plano cartesiano variando de 0 à 2π, temos então que o ângulo é basicamente este.

$\: \: \: \: \: \sf \bullet \: \: \: 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$

Substituindo estas informações na integral:

$\sf polar \: \: \to \: \: dA = rdrd \theta\\ \sf A = \sf \int_{0}^{2\pi} \int_{0} ^{2 + 2cos( \theta)} rdrd \theta$

Agora é só resolver normalmente as integrais.

• Integral interna:

$\sf\int_{0}^{2 + 2cos( \theta)} rdr \: \: \to \: \: \left(\frac{r {}^{2} }{2} \right) \bigg| _{0}^{2 + 2cos( \theta)} \\ \\ \sf \frac{(2 + 2cos( \theta)) {}^{2} }{2} - 0 \: \: \to \: \frac{4 + 8cos( \theta) + 4cos^{2} ( \theta)}{2}$

• Integral externa:

$\sf \int_{0}^{2\pi} \frac{4 + 8cos( \theta) + 4cos^{2} ( \theta)}{2} d \theta \\ \\ \sf \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 4 + 8cos( \theta) + 4cos ^{2} ( \theta) \: d \theta \\ \\ \sf \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}4d \theta + \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 8cos( \theta) \: d \theta + \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 4cos ^{2} ( \theta) \: d \theta \\ \\ \sf 2.( \theta)\bigg| _{0}^{2\pi} + 4(sen( \theta))\bigg| _{0}^{2\pi} + (\theta)\bigg| _{0}^{2\pi}+ \frac{1}{2} sin(2 \theta)\bigg| _{0}^{2\pi} \\ \\ \sf 4\pi + 4.sen(2\pi) + (2\pi) + \frac{1}{2} .sin(2.2\pi) \\ \\ \sf 4\pi + 0 + 2\pi + 0 \\ \\ \boxed{ \sf 6\pi}$

Portanto temos que a área do cardioide é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf A = 6\pi}$

Espero ter ajudado