A área coberta para apoio da piscina do Sr.Logan foi projetada, no fundo do terreno, na forma de um triângulo retângulo de cateto AB=12m e AC=12m, como mostrada na figura sem escala. Insatisfeito com a area disponível, o proprietário pediu ao arquiteto que, mantendo a forma original, duplicadas o menor angulo do triângulo de modo que a area correspondesse ao triângulo BAD. Qual o aumento no menor cateto que atende à solicitação do Sr. Logan?
A) 7m B) 8m C)9m D)19m E)12m
(Figura anexa)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Letra A) 7m
O aumento no menor cateto que atende à solicitação do Sr. Logan é de 10m.
Medidas de um terreno triangular
Da duplicação da área coberta da casa do Sr. Logan, temos que o menor ângulo do triângulo formado passa a ser 2x, e que a linha que divide os dois ângulos iguais é a bissetriz. Como consequência, há uma equivalência entre razões.
Dessa forma, sendo AB = 12 e AC = 6, há a seguinte relação:
12/6 = z/y, sendo y a medida do lado CD do prolongamento e z a medida do o lado BD do prolongamento.
6z = 12y
z = 12y/6
z = 2y
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo maior:
(2y)² = 12² + (y + 6)²
4y² = 144 + y² + 12y + 36
4y² - y² - 12y - 180 = 0
3y² - 12y - 180 = 0
y² - 4y - 60 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau por soma e produto:
S = -b/a = 4
P = c/a = -60
y' = 10 e y" = -4.
Serve o y positivo. Dessa forma, y = 10m.
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