Question

A área a ser coberta de cinza vale 260 m^2.

A) Qual é a medida da área reservada para os grafiteiros?

B) Qual é a medida aproximada da rampa representada pelo segmento inclinado BK?

Answer 1

Se a área total vale 260m², basta nós fazermos a soma da área do quadrado ABCD mais a área do triângulo BCK menos a área do quadrado EFGH (pois ela não foi pintada) e igualar a 260m² para achar o valor de x.

A área do quadrado é dada por:

$\boxed{A = l^2}$

A área de um triângulo é dada por:

$\boxed{A = \frac{b*h}{2}}$

Área do quadrado ABCD:

$A = l^2 \\ A = (x+5)^2 \\ A = x^2+2*x*5+5^2 \\ \boxed{A = x^2+10x+25}$

Área do triângulo BCK:

$A = \frac{b*h}{2} \\ A = \frac{(x+8)*(x+5)}{2} \\ A = \frac{x^2+5x+8x+40}{2} \\ \boxed{A = \frac{x^2+13x+40}{2}}$

Área do quadrado EFGH:

$A = l^2 \\ \boxed{A = x^2}$

Somando a área do quadrado ABCD mais BCK e subtraindo a área do quadrado EFGH e depois igualando a 260, temos:

$(x^2+10x+25+\frac{x^2+13x+40}{2})-x^2 = 260 \\ x^2+10x+25+\frac{x^2+13x+40}{2}-x^2 = 260 \Rightarrow Multiplica \ todos \ os \ termos \ por \ 2 \\ 2x^2+20x+50+x^2+13x+40-2x^2=520 \\ x^2+2x^2-2x^2+33x+90=520 \\ x^2+33x+90-520=0 \\\\ \boxed{x^2+33x-430=0}$

Com isso, para achar o valor de x basta aplicar a fórmula de Bháskara.

$x^2+33x-430=0 \rightarrow \boxed{a = 1, b = 33, c = -430} \\\\ \Delta = b^2-4*a*c \\ \Delta = 33^2-4*1*(-430) \\ \Delta = 1089+1720 \\ \Delta = 2809 \\\\ x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x = \frac{-33\pm \sqrt{2809}}{2*1} \\ \boxed{x' = \frac{-33+53}{2} = \frac{20}{2} = \boxed{10}} \\ \boxed{x'' = \frac{-33-53}{2} = -\frac{86}{2} = \boxed{-43}}$

Como não podemos ter medida negativa, x = 10.

A) A medida da área reserva para os grafiteiros será:

$A = x*x \\ A = x^2 \\ A = 10^2 \\ \boxed{A = 100m^2}$

B)

O valor da base do triângulo será x+8 = 10+8 = 18m

O valor da altura do triângulo será x+5 = 10+5 = 15m

Para achar a medida da rampa é só aplicar Pitágoras.

$hip^2 = cat^2+cat^2 \\ hip^2 = 15^2+18^2 \\ hip^2 = 225+324 \\ hip^2 = 549 \\ hip = \pm \sqrt{549} \\ hip = \pm \sqrt{3^2*61} \\ hip = \pm 3\sqrt{61} \\\\ Como \ n\tilde{a}o \ existe \ medida \ negativa,\ temos: \\\\ hip = 3\sqrt{61} \\ hip \cong3*7,81 \\ \boxed{hip \cong 23,4m}$

O valor aproximado da ponte é igual a 23,4m.