Question

A aplicação das regras de derivação a uma função permitem determinar os pontos de máximo ou de mínimo que ela possua. Sabe-se que a primeira derivada permite encontrar os pontos críticos e a segunda derivada permite analisar se este ponto é de máximo ou de mínimo. Para a função seguinte.

f(x) = 2x3/3 +7x2 - 2

​Analise as afirmações apresentadas.
I) Os pontos críticos da função são os valores de x = - 2 e x = 3.
II) Para o valor de x = 0, a função apresenta um mínimo local.
III) Para o valor de x = 5, a função apresenta um máximo local.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.

Alternativa 2:
I e II apenas.

Alternativa 3:
I e III apenas.

Alternativa 4:
II apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Sendo $f(x) = \frac{2x^3}{3}+7x^2-2$, para calcular o(s) ponto(s) crítico(s) da função f precisamos derivá-la.

Então,

f'(x) = 2x² + 14x.

Agora, precisamos igualar a derivada à zero:

2x² + 14x = 0

Colocando 2x em evidência:

2x(x + 7) = 0

x = 0 ou x = -7.

Portanto, os pontos críticos da função f são: x = 0 e x = -7.

Agora, para sabermos qual é o minimo local e o máximo local, temos que calcular as seguintes condições: f'(x) > 0 e f'(x) < 0:

f'(x) > 0 ⇔ x < -7 ou x > 0

f'(x) < 0 ⇔ -7 < x < 0.

Portanto, podemos concluir que x = 0 é um mínimo local e x = -7 é um máximo local.

Analisando as afirmativas, podemos afirmar que a única afirmativa correta é a II.

Logo, alternativa correta: alternativa 4.